第十八届中国东南地区数学奥林匹克 江西·南昌 母市能二中 高二年级第一天 2021年7月28日上午8:00-12:00 1.如图,在△ABC中,AB=AC>BC,点O,H分别为△ABC的外心、垂 心,G为线段AH的中点,BE⊥AC于点E.证明:若OE/BC,则H为△GBC 的内 2.设质数p≥5,集合M=1.2.…,P-1},记 T={(n,x):P|nxn-1且n,x∈M 求∑ 模p的最小非负剩余.其中[x表示不超过x的最大整数 3.设a,b,c>0,a2+b2+c2<1,证明 +bc +ca+ 4.对于正整数k,若能从集合M=.2,…,码}中删去一个元素,使得剩下 的k-1个元素之和恰为某个正整数的平方,就称k为“金牛数”;例如7是一个 金牛数”,因为可以从集合4,2,3,4,5,6,7}中删去元素3,使得剩下的元素之 和为平方数25 (1)判断2021是否为“金牛数”,并说明理 (2)试求前n个正整数1,2,…,n中“金牛数”的个数f(m)(用n表示)第十八届中国东南地区数学奥林匹克 江西·南 高二年级第二天 2021年7月29日上午8:00-12:00 1.设A={1,a2,…,anb,b2,…,bn}是2n元集,B三A(=1,2,…,m),如果 ∪B=A,那么称有序m元组(B,B2,…,Bn)是A的一个有序m-覆盖;若上述A 的有序m-覆盖(B,B2,…,Bn)中,每个B(i=1,2,…,m)不含任何一对 a与b(=,2,…,m),则称(B,B,…,Bn)是A的一个无对子有序m-覆盖.用 a(n,m)表示A的有序m-覆盖的个数,b(n,m)表示A的有序无对子m-覆盖的个 数 (1)求a(n,m),b(n,m)的表达式; (2)已知m≥2,并且存在正整数n,使得“(n,m)≤2021成立求整数m的 b(n, m) 最大可能值 2.如图所示,在圆内接四边形ABCD中,∠BAD的平分线与BC边相交于点 E,M是AE的中点.∠BCD的外角平分线与边AD的延长线相交于点F.直线 MF与边AB相交于点G.证明:若AB=2AD,则MF=2MG 3.求所有大于1的正奇数a,b,使得 7y(a)-g(ab)+1lp(b)=2(a2+b2), 其中φ(m)表示不超过n且与n互素的正整数个数 4.已知数列{2}满足:z∈{0,1,…,9}且z≡i-1(mod10)对任意正整数i成立 假设有2021个非负实数x,x2,…x21.满足 ∑xsS:+2 对所有的k=1,2,…,2021成立.求∑x的最小值
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