自主探究 1．一个平面的法向量唯一吗？具有哪些性质？ 提示 平面的法向量不唯一，可以有无数个，这些法向量的 共有性质是：①法向量垂直于与平面共面的所有向量，②一个平面的所有法向量互相平行． 2．如何确定一个平面的法向量？ 提示 求一个平面的法向量，一般先看有没有与这个平面垂直的向量，若没有再用待定系数法求出． 预习测评 1．已知点A(1，0，0)，B(1，0，1)，C(0，0，0)，则平面ABC的一个法向量是( )． A．(1，1，1) B．(0，－1，0) C．(2，1，1) D．(0，0，2) 答案 B 2．斜线b在平面α内的射影为c，直线a⊥c，则a与b( )． A．垂直 B．不垂直 C．共面或垂直 D．以上都有可能 解析 若a?α，则由三垂线定理知a⊥b. 当a不在平面α内时，a与b的位置关系不确定． 答案 D 3．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_____． 解析 OM·e＝(x，y，z)·(1，1，1)＝x＋y＋z＝0. 答案 x＋y＋z＝0 4．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是_____． 解析 直线AC⊥AB，由C为动点，则直线AC运动时构成一个平面β，则AB⊥β，而α与β的交线即为点C的轨迹． 答案 一条直线 点评 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一解(非零向量)即可． 点评 证明直线与平面垂直有两种方法： (1)用直线与平面垂直的判定定理； (2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行． 2．三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在应用时关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影．
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