3.1.1 数系的扩充与复数的概念 学习目标： 1、理解复数的基本概念 2、理解复数相等的充要条件 3、理解复数的代数表示方法 4、了解数系的扩充过程 学习重点： 复数的概念，复数的代数形式表示. 学习难点： 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 数系的扩充 自然数 整数 有理数 无理数 实数 N Z Q R 用图形表示包含关系： 复习回顾 下列方程在给定数集内有解吗？ N Z Q R 自然数 整数 有理数 实数 ？ 负整数 分数 无理数 数 系 的 扩 充 减法 除法 开方 ？ 数系的每一次扩充，解决了在原有数集中运算不能实施的矛盾，且原数集中运算规则在新数集中得到保留. 知识引入 对于一元二次方程 没有实数根． 我们已经知道： 满足 引入一个新数： i i2??1 引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i2??1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 . 一、复数的概念 实部 复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 虚部 其中 称为虚数单位。 复数集C和实数集R之间有什么关系？ 讨论？ 复数a+bi (a,b∈R) 复数的分类 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 二、复数相等的定义 注意： 除了复数的相等之外，还规定： 只有当两个复数都是实数时，它们才能比较大小。 练一练： 说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。 5 +8 0， 实数： 虚数： 纯虚数 实部a 虚部b 0 5 +8 0 0 0 0 0 -1 0 0 3 8 5 i2??1 复数z=a+bi(a,b∈R) 例1 实数m取什么值时，复数 （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？ 解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数． （2）当 ，即 时，复数z 是虚数． （3）当 即 时，复数z 是 纯虚数． 变式训练1：实数m 取什么值时，复数 z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i (1) 是实数？(2)纯虚数？ (3)零？ 解：(1)当m2-5m-6=0时， 即m=6或m=-1时， z为实数 (2)当 时， m2-3m-4=0 m2-5m-6?0 即m=4时， z为纯虚数 (3)当 时， m2-3m-4=0 m2-5m-6=0 即m=-1时， z为零 例2 已知 ， 其中 求 解：根据复数相等的定义，得方程组 ，解得 1.若x，y为实数，且 求x，y. 变式训练2： x=-3,y=4 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求实数x的值. x=2 例3 解方程： x2-2x+3=0 解：一元二次方程 x2-2x+3=0的判别式 故原方程的解是 i2??1 变式训练3： 解下列方程 (1) x2-x+1=0； (2) 2x2-x+1=0. 答案： 小结: 1.虚数单位i的引入: 2.复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 复数相等 虚数、纯虚数 i2??1 课后作业： 5. 已知 是实数， 是纯虚数，且满足 , 求 、 。 课本习题3.1A组 1、2. 再见！ ... ...
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