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课件网) 2.1.1 椭圆及其标准方程 课标阐释 思维脉络 1.理解并掌握椭圆的定义; 2.掌握椭圆的标准方程,了解其推导过程; 3.掌握求椭圆标准方程的基本方法. 【思考1】给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆? 提示:在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆. 名师点拨 椭圆的定义中,常数2a>|F1F2|>0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则, (1)当2a=|F1F2|时,动点轨迹为线段F1F2; (2)当2a<|F1F2|时,动点轨迹不存在. 1.椭圆的定义 椭圆定义 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 焦点 两个定点F1,F2 焦距 两焦点F1,F2间的距离|F1F2| 几何表示 |MF1|+|MF2|=2a(常数),且2a>|F1F2| 【做一做1】 (1)下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上)? ①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|= 的点P的轨迹为椭圆; ②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段; ③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆. 解析:(1)①中,因为F1(-1,0),F2(1,0), 可得|F1F2|=2,因为 <2,所以点P的轨迹不存在; ②中,因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2; ③中,到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即x=0.故答案为②. F1(0,-2)与F2(0,2)的距离之和等于10,且|F1F2|=4<10,所以根据椭圆的定义知点P的轨迹是以F1(0,-2)与F2(0,2)为焦点的椭圆. 答案:(1)② (2)椭圆 【思考2】若两定点A,B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程? 提示:以两定点的中点为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).设P(x,y),依题意得|PA|+|PB|=10,所以 2.椭圆的标准方程 名师点拨 1.对椭圆标准方程的三点认识 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上. (2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是 的平方和,并且分母为不相等的正值. (3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,当点 M到两焦点距离相等时,a,b,c(都是正数)恰好构成一 个直角三角形的三条边,a是斜边,所以a>b,a>c,且 a2=b2+c2(如图所示). 相同点:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2; 不同点:两椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 3.给出椭圆方程 =1(m>0,n>0,m≠n),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法 椭圆的焦点在x轴上?标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上?标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法. 解析:(1)∵椭圆的一个焦点为(0,1),∴焦点在y轴上,∴4-m=1,解得m=3. (2)由于10>6,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,从而c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0). (3)由已知得b2=a2-c2=21,又焦点在y轴上,于是椭圆的标准方程为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 对椭圆定义的理解 例1已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法: ①当a=2时,点P的轨迹不存在; ②当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3; ③当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6; ④当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆. 其中正确的说法是 .(填序号)? 分析按照椭圆的定义进行判断. 解析:当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,①正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,②错误,③正确;当a=3时,点P的轨迹为线段AB,④错误. 答案:①③ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟由椭圆定 ... ...
