(
课件网) 14.1.3 反证法 新知导入 议一议 小故事:路边苦李 从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 王戎推理方法是: 假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾 假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的 王戎的推理方法是: 假设李子不苦， 则因树在“道”边，李子早就被别 人采摘而没有了， 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李. 合作探究 想一想 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没有外出旅游. 小华是如何推断该命题的正确性的? 假设小芳全家外出旅游， 那么今天不可能碰到小芳， 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾， 所以假设不成立， 所以小芳全家没有外出旅游. 说一说 在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一个例子. 例: 小华睡觉前，地上是干的，早晨起 来，看见地上全湿了。小华说： “昨天晚上下雨了.” 您能对小华的判断说出理由吗？ 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c( a≤b≤c)有关系a2+b2= c2时，这个三角形一定是直角三角形。 那么，如果此时a2+b2≠c2,这个三角形是否一定不是直角三角形呢? 做一做 画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形, 你发现了什么? (1)a= 1.0，b=2.4, c=2.6; (2)a=2，b=3,C=4; (3)a=1.5，b=2.5,c=3. 我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致. 而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形. 由此，可以猜想: 当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系 a2 +b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 然而,想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理,得出结论,十分困难. 我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论: (1)假设它是一个直角三角形; (2)根据勾股定理,一定有a2+b2=c2,与已知条件a2+b2≠c2矛盾; (3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形. 这种证明方法叫做“反证法”. 注意a、b、c 的大小关系:a≤b≤c. “反证法”其步骤为: 先假设结论的反面是正确的; 然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾; 从而说明假设不成立,进而得出原结论正确. 回想一下，以前用过类似的方法吗? 读一读 反证法是数学证明的一种重要方法,历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法,有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”. 因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法. 思考 现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c, BC=a, CA=b,且∠C=90° , 那么a2+b2 =c2”是一个真命题. 先思考作什么假设,再用反证法写出推理过程. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢?即“在△ABC中,如果AB=c, BC=a, CA=b,且∠C≠90°,那么 a2+b2 ... ...
