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课件网) 21.3 实际问题与一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 第3课时 几何图形问题 预学浅梳理 探究与应用 随堂小检测 第二十一章 一元二次方程 目标 能用一元二次方程解答几何图形问题 探究 如图21－3－1,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周 边衬的宽度(结果保留小数点后一位)? 图21－3－1 分析 (1)封面的长宽之比是_____,故中央矩形的长宽之比是_____. 27∶21＝9∶7 9∶7 (2)若按中央矩形的长宽之比设出长度,如何设?此时上、下边衬的宽如何表示?左、右边衬的宽如何表示?上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少? (3)中央矩形的面积占封面面积的____.你找到的等量关系是什么? 解：设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则中央的矩形的长为(27－18x)cm,宽为(21－14x)cm. 整理,得16x2－48x＋9＝0. 答：上、下边衬的宽约为1.8 cm,左、右边衬的宽约为1.4 cm. 思考 如果换一种设未知数的方法,不直接设而是间接设未知数,是否可以更简单地解决上面的问题?请你试一试. 例1 如图21－3－2,有一矩形硬纸板,长为30 cm,宽为20 cm,在其四个角各剪去一个相同的小正方形,然后把四周突出部分折起,可做成一个无盖的长方体盒子,当剪去的小正方形的边长为何值时,所得长方体盒子的底面积为200 cm2? 图21－3－2 解：设剪去的小正方形的边长为x cm. 根据题意,得(30－2x)(20－2x)＝200, 解得x1＝5,x2＝20. 当x＝20时,20－2x<0,不合题意,舍去, 所以x＝5. 答：当剪去的小正方形的边长为5 cm时,所得长方体盒子的底面积为200 cm2. 1.利用方程解决图形的面积(体积)等问题的方法 总结与警示 用含未知数的代 数式表示图形中 的相关元素，比 如边长等 将图形的面积、体积等计算公式或图形割补后的关系式作为等量关系 利用等量关系 得方程解题 2.警示 利用方程解决实际问题,方程最后取值时,要考虑问 题的实际意义,不符合实际意义的方程解要舍去. 总结与警示 变式 改善小区环境,争创文明家园.如图21－3－3,某社区决定在一块长(AD)16 m,宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植草坪.要使种植草坪部分的面积为112 m2,则小路的宽应为多少? 图21－3－3 解：设小路的宽应为x m. 由题意,得(16－2x)(9－x)＝112, 解得x1＝1,x2＝16. 又∵x2＝16>9,不合题意,舍去,∴x＝1. 答：小路的宽应为1 m. 例2 如图21－3－4所示,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点处,岛上有一补给码头,小岛F位于BC的中点处.一艘军舰 从A出发,经B到C匀速巡航, 图21－3－4 一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1 n mile) 图21－3－4 解：连接DF.∵D,F分别是AC,BC的中点, ∴DF是△ABC的中位线, ∵AB⊥BC,AB＝BC＝200 n mile, ∴DF⊥BC,DF＝100 n mile,BF＝CF＝100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile,则DE＝x n mile,AB＋BE＝ 2x n mile,EF＝AB＋BC－(AB＋BE)－CF＝(300－2x)n mile. 在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002＋(300－2x)2, 整理,得3x2－1200x＋100000＝0, ∴相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 1.如图21－3－5,某校团委准备举办学生绘画展览,为美化画面,在长为30 cm,宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等,求彩 ... ...
