中小学教育资源及组卷应用平台 2021浙江省数学中考专题分类4 二次函数图象上点的坐标特征 1．已知抛物线与轴的交点为和，点，，，是抛物线上不同于，的两个点，记△的面积为，△的面积为，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点 【解答】解：方法一：不妨假设． ①如图1中，，满足， ， ，故①错误． ②当，，满足， 则，故②错误， ③， ，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大， ，故③正确， ④如图2中，，满足，但是，故④错误． 故选：． 方法二：解：抛物线与轴的交点为和， 该抛物线对称轴为， 当时与当时无法确定，，，在抛物线上的对应位置， 故①和②都不正确； 当时，，比，离对称轴更远，且同在轴上方或者下方， ， ，故③正确； 当时，即在轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1， 可知在轴上到2的距离大于1，到的距离大于1，但到2的距离不能确定， 所以无法比较，比，谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误； 故选：． 2．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理 【解答】解：是直角三角形， 当对称轴或时，一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，且点在对称轴上的直角三角形， 当对称轴或时，不存在满足条件的点, 当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形（如图所示）． 观察图象可知，或4， 或， 故答案为：2或． 3．在直角坐标系中，设函数，是常数，． （1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【解答】解：（1）由题意，得， 解得， 所以，该函数表达式为． 并且该函数图象的顶点坐标为． （2）例如，，此时， ， 函数的图象与轴有两个不同的交点． （3）由题意，得，， 所以 ， 由条件，知．所以，得证． 4．如图，二次函数为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与轴的交点 【解答】解：（1）由二次函数为常数）知，该抛物线与轴的交点坐标是和． 对称轴为直线， ． 解得； （2）由（1）知，，则该抛物线解析式是：． 抛物线向下平移3个单位后经过原点． 平移后图象所对应的二次函数的表达式是． 5．已知抛物线经过点． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标． （2）直线交抛物线于点，，为正数．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【解答】解：（1）把代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为， ， 抛物线顶点坐标为． （2）把代入得， ， 把代入函数解析式得， 解得或， 为正数， ， 点坐标为，点坐标为． 抛物线开口向上，顶点坐标为， 抛物线顶点在下方， ，． 6．如图，已知经过原点的抛物 ... ...
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