专题51 不等关系及基本不等式 一、题型选讲 题型一 、不等式的性质 例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若则 【答案】BC 【解析】若，，则，故A错； 若，，则，化简得，故B对； 若，则，又，则，故C对； 若，，，，则，，，故D错； 故选：BC． 例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设，，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】当，满足条件．但不成立，故A错误， 当时，，故B错误， ，，则，故C正确， ，，故D正确. 故选：CD． 例3、已知，，则下列不等式中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，，故A正确； 对于B，，，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 题型二、不等式的应用 例4、已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】∵，，∴A，D都成立. 又∵当，时，，此时B不成立. 又∵，∴C不成立. 例5、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A． B． C．≥2 D． 【答案】ACD 【解析】当时，满足，此时，故正确； 因为，所以，所以，即， 所以一定成立，故不正确； 当时，满足，此时，故正确； 当时，满足，此时，故正确. 例6、．设，则下面不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，当时，，，所以， 当时， ， 即，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，， ，当且仅当时取等号，故D错误. 例7、已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】， 又故正确； ，，且，，故正确； ,故正确； 等价于，即， 等价于,但当时，满足条件，，且，,故C错误； 二、达标训练 1、在下列函数中，最小值是2的函数有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于选项A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得，当且仅当，即x＝1或时，等号成立，故选项A正确； 对于选项B：∵，∴0＜＜1，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但是取不到1，所以等号不能成立，故选项B不正确； 对于选项C：由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确； 对于选项D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得，当且仅当，即x＝log32时，等号成立，故选项D正确． 2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A 正确； 对B，当时，不成立，故B错误； 对C，当时，不成立，故C错误； 对D，成立，从而有成立，故D正确； 故选：AD. 3、（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（ ） A．， B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】BD 【解析】当时，为负数，所以A不正确； 若，则，考虑函数在R上单调递增， 所以，即，所以B正确； 若，则，，所以C不正确； 若，，，根据基本不等式有 所以D正确. 故选：BD 4、下列四个条件中，p是q的充分条件的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解析】因为时， ，所以p不能推出q，p不是q的充分条件，A错； 因为，所以p是q的充分条件，B对； 因为，所以p不能推出q，p不是q的充分条件，C错； 因为，所以p是q的充分条件，D对. 5、下列说法正确的是（ ） A．若a>b，c>d，则a-c>b-d B．若，则a>b C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】取，，则，A错误； ，， ... ...
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