归纳—猜想—论证 【教学目标】 1．对数学归纳法的认识不断深化。 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法。 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系。 【教学重难点】 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明。 【教学过程】 一、复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法。请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题。 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确。 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程。 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性。第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据。递推是数学归纳法的核心。用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可。证第（2）步时，必须用归纳假设。即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立。 师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题。 二、归纳、猜想、证明 1．问题的提出。 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理。 （学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上。） 师：正确。怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下。 2．归纳与猜想。 生：我猜出了一个an的计算公式。（许多学生在偷笑）。 师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好。人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾。我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是怎么“猜”的。 师：大家也一定觉得他说的有道理，但为什么用“猜想”呢？ 生：我只是通过对a1，a2，a3，a4的观察，就去归纳an的计算公式，这个公式不一定对，所以还只能是“猜想”。 师：他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后，归纳出对一切自然数的一般结论。他用的是不完全归纳法。他的结论虽不一定正确，但这却是探索新知识，发现新规律的重要途径，归纳法是可以用于猜测与发现的。 我们一起把他的“猜想”记录下来。 （教师板书。） 师：这个“猜想”的正确性怎么能保证？ 生：用数学归纳法证明。 3．证明。 （学生口述，教师板书。） 师：证得非常好。在证明n=k+1时，每一步的依据是什么？ 生：因为在这里，能否用上归纳假设是关键。因此先根据定义用ak表示ak+1，然后就可代入归纳假设，再化简整理，即可证出n=k+1的相应结论。 师：这才能体现出递推性。必须注意要由归纳假设（n=k时）的正确性来推n=k+1时的正确性，这是用数学归纳法证题的核心与关键。 回顾我们的解题过程，光用不完全归纳法对事物的一部分特例，通过观察，加以归纳，得到猜想，再用数学归纳法对猜想加以证明。这种从观察到归纳到猜想到证明的过程，是一种科学的思维模式，也正是我们今天要研究的课题。 （板书课题：归纳、猜想、证明。） 4．不完全归纳法中的“猜测”二法。 师：高斯说过：“发现和创新比命题论证更重要，因为一旦抓住真理之后，补行证明往往是时间问题。” 在“归纳、猜想、证明”的过程中，猜想准确是关键。我们再看一个例题，在解题过程中重点思考：如何猜想。 且n≥2）。先求出f（2），f（3），f（4 ... ...
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