一元二次方程 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根. (二)过程与方法：1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活；2.通过观察、思考、交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式. (三)情感态度与价值观：用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念. 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念. 三、教学过程 引言 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？ 如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系： AC:BC=BC:2，即 BC2=2AC. 设雕像下部高xm，可得方程 x2=2(2-x) 整理得 x2+2x-4=0 ① 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm. 根据方盒底面积为3600cm2，得 (100-2x)(50-2x)=3600 整理，得 4x2-300x+1400=0 化简，得 x2-75x+350=0 ② 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸. 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队参赛？ 全部比赛的场数为 4×7=28. 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它(x-1)个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1)场. 列方程x(x-1)=28，整理，得，化简，得 x2-x=56 ③ 由方程③可以得出参赛队数. 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？ x2+2x-4=0 ① x2-75x+350=0 ② x2-x=56 ③ 思考 方程①②③有什么共同点？ 特点：(1) 都是整式方程；(2) 只含有一个未知数；(3) 未知数的最高次数是2. 4x2=9，x2+3x=0，3y2-5y=7-y等也是这样的方程. 像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化为ax2＋bx＋c＝0的形式，我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 为什么规定a≠0？b，c可以为零吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例如，x=8是x2-x=56的解. 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项： 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； 解：4x2=25，化成一般形式为4x2-25=0. (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； 解：x(x-2)=100，化成一般形式为x2-2x-100=0. (3)把长 ... ...
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