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课件网) 第十四章 整式的乘法与因式分解 14．3 因式分解 14．3.1 提公因式法 情景导入 计算： (1)a(b＋c)＝_____； (2)(2x＋3)(3－2x)＝ _____ ； (3)(x＋4)2＝_____； (4)(x＋3)(3x－5)＝ _____． ab ＋ ac 9 － 4x2 x2＋8x＋16 3x2＋4x－15 温故 合作探究 知识板块一 因式分解 探究： 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： （1）x2 ＋ x= ; (2) x2 － 1= . 根据整式的乘法，可以联想得到 x2 ＋ x= x(x ＋1), x2 － 1=(x ＋1) (x － 1), 多项式 整式的乘积形式 和 差 积 因式分解 整式乘法 例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的 是( ) A．a2＋1＝a(a＋ ) B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y) D 分析： 紧扣因式分解的定义进行判断．因为 不是整式，所以a2＋1＝ a(a＋ )不是因式分解，故A错误；因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，因此是因式分解，D正确． 因式分解与整式乘法是方向相反的变形， 如x2－1 (x＋1)(x－1) 合作探究 知识板块二 公因式及提公因式法 因式分解 整式乘法 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解 （1）(5a－1)2=25a2－10a+1； （2）(a－3)(a+3)=a2－9； （3）m2－4=(m+2)(m－2)； （4 ）2xy－ 2xz= 2x(y－z)． 例2 利用整式乘法和因式分解的定义加以判断即可． (1)(2)是整式乘法，(3)(4)是因式分解. 分析： 解： 合作探究 知识板块三 变形后用提公因式法 1.公因式的定义 一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这个 多项式各项的公因式 . 怎样确定多项式各项的公因式？ 系数：公因式的系数是多项式各项系 数的最大公 约数； 字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字 母最低次幂； 例3 指出下列多项式各项的公因式： (1)3a2y－3ya＋6y； (2) xy3－ x3y2； (3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3； (4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b. 解： (1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y. (2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是 ；两项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，所以公因式是 xy2. (3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是 2，所以公因式是(x－y)2. (4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取 变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－ 36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都 有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1， 所以这个多项式各项的公因式是－9a2b. 确定一个多项式的公因式时， 要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数． 2.用提公因式法分解因式 确定一个多项式的公因式时，要从_____ 和_____分别进行考虑 . 数字系数 字母及其指数 公因式的系数应取各项系数的最大公约数. 公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的. 数字系数 字母及其指数 把2a(b+c) － 3(b+c)分解因式. b+c是这两个式子的公因式，可以直接 提出. 2a(b+c) － 3(b+c) = (b+c)(2a － 3). 例2 分析： 解： 如何检查因式分解是否正确？ 提公因式的步骤 ①确定应提取的公因式； ②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－2 ... ...
