第38届全国中学生物理竞赛复赛（扬州、福建赛区）理论试题（word版无答案）

第38届全国中学生物理竞赛复赛（扬州、福建赛区）理论试题 （考试时间：2021年10月10日上午8:30-11:30） 考生必读 1、考生考试前请务必认真阅读本须知． 2、本试题共4页，每大题40分，总分为320分． 3、如遇试题印刷不清楚情况，请务必向监考老师提出． 4、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不能得分． 一、（40分） 如图所示，质量为M的斜面可在水平面上滑动，斜面倾角为θ，质量为m的滑块与劲度系数为k的轻弹簧一端相连，弹簧另一端固定在斜面底端．设初始时M与m静止，t＝0时将m从弹簧原长位置释放．斜面与水平面之间的摩擦以及滑块与斜面之间的摩擦均可忽略。 （1）试求系统振动的周期T； （2）试求t时刻弹簧的压缩量x(t)和斜面M向右的加速度a(t)． 二、（40分） 一质量为m的卫星沿地球轨道绕太阳运行．某一时刻卫星打开太阳帆———半径为R的圆形镜面反射薄膜．在随后运动中帆不断地改变方向，使帆面总是垂直于太阳光．已知：万有引力常量为G，地球轨道可看作圆，太阳质量为M，太阳半径为RS，太阳表面温度为TS，太阳可视为理想黑体，辐射遵从斯忒蕃－玻尔兹曼定律，斯忒蕃常量为σ． （1）当卫星到太阳的距离为r时，试求卫星受到的合力F(r)的表达式（以径向向外为正）； （2）已知卫星质量m＝100kg，太阳帆半径R＝70m，万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，太阳质量M＝2×1030kg，太阳半径RS＝6.69×105km，太阳表面温度TS＝5.78×103K，斯忒蕃常量σ＝5.67×10－8W·m－2·K－4．试判断在张开帆以后卫星的运行轨迹形状（定性即可）以及轨迹是否闭合．若轨迹闭合，求卫星运行的周期T（年）；若轨迹不闭合，求卫星在无穷远处的剩余速度v∞． 三、（40分） 一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R（R＞r）、质量为M的匀质薄圆筒中，圆筒的中心轴O和小圆柱的中心轴C均水平，横截面如图所示．将圆筒放置在粗糙地面上，圆筒只能在地面上无滑滚动，小圆柱也只能在圆筒内壁无滑滚动．如图所示，将圆筒中心轴O的水平位置记为x，小圆柱中心C与O的连线与竖直方向间的夹角记为θ．重力加速度为g． （1）若t＝0时，θ(0)＝90°，系统由静止释放，试求小圆柱运动到最低点时，对圆筒的压力． （2）若运动过程中θ始终为小量，系统应该具有两种特殊的运动模式，即：①整体匀速运动模式；②往返振动模式． （i）写出关于x和θ的动力学方程组； （ii）分别给出系统单独呈现上述一种运动模式时，x和θ的初始条件应满足的定量关系； （iii）写出系统往返振动模式的振动周期； （3）系统的一般运动为上述两种特殊运动模式的叠加．若t＝0时，x(0)＝0、，θ(0)＝θ0（小量）、，试求任意t时刻的x(t)、θ(t)． 四、（40分） 在一个真空二极管中，电子从阴极面“热蒸发”后向阳极面加速运动．阴极电势为零，对面阳极的电势为V0．在两极间隙中所形成的电子云（称为空间电荷）很快会达到一种分布状态，使得阴极面上的电场强度为零．然后在两极板之间形成稳定的电流． 假定电子从阴极是从静止开始运动的，假定两个极板面积为A，极板边长远大于它们之间的距离d，所以边界效应可以忽略．则电势V、电荷密度ρ、电子速度v都仅是x的函数．已知电子电量为e，电子质量为m． （1）试求电势分布V(x)，用V0和d表示，定性画出V－x曲线图，并与没有空间电荷的情况比较． （2）进一步求出速度分布v(x)和电荷密度分布ρ(x)； （3）证明电流I和阳极电势V0满足关系I＝KV0n，求出常数K和n的表达式．（此式即为真空二极管的伏安特性关系，称为Child-Langmuir定律．只要是空间电荷限制电流的情况，它对另外的几何构型也同样成立．注意，受空间电荷限制的二极管是非线性的———它不遵从欧姆定律） 五、（40分 ... ...