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课件网) 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题 随堂演练 获取新知 知识回顾 例题讲解 课堂小结 知识回顾 A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A ′ “ 两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题． 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”. 获取新知 获取新知 知识点一：将军饮马问题 你能用自己的语言说明这个故事的意思，并把它抽象为数学问题吗？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ A l B C 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 连接AB,与直线l相交于一点C. 问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ A B l 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′. 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A B l B ′ C 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短． A B l B ′ C C ′ 例题讲解 例1 [教材“问题1”针对训练]如图13－4－1，在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA，OB上确定两点C，D，使△PCD的周长最短． 图13－4－1 分析：△PCD的周长等于PC＋CD＋PD，要使△PCD的周长最短，根据“两点之间，线段最短”，只需使得PC＋CD＋PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于射线OA和OB的对称点E，F，则△PCD的最短周长等于线段EF的长． 作法：如图，①作点P关于射线OA的对称点E； ②作点P关于射线OB的对称点F； ③连接EF，与OA，OB分别交于点C，D，则C，D就是所要求作点． 证明：连接PC，PD，则PC＝EC，PD＝FD. 在OA上任取异于点C的一点H，连接HE，HP，HD，则HE＝HP. ∵△PHD的周长＝HP＋HD＋PD＝ HE＋HD＋DF>ED＋DF＝EF， 而△PCD的周长＝PC＋CD＋PD＝ EC＋CD＋DF＝EF，∴△PCD的周长最短． 知识点二：造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ B A A B N M B A ● ● N M N M N M 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ B A Ｍ Ｎ B A A1 M N 如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最 ... ...
