椭圆方程及几何性质 一、知识导图 二、知识导入 1.前面已学过曲线的方程与方程的曲线的概念，那么椭圆的标准方程是什么？以及是怎样规定的呢？ 2.你知道下面这个问题的方程轨迹方程是什么吗？ 已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程. 知识讲解 知识点1 椭圆的认识 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 要点诠释： （1）若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形. （2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型. 知识点2 椭圆的标准方程 （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 要点诠释： （1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，. 知识点3 椭圆的几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）范围：，， （2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是且； 椭圆的的简单几何性质 （1）范围：，， （2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是 知识点4 椭圆与的区别与联系 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 焦半径 ， ， 要点诠释： 椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。 四、例题解析 例1：若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_____. 【答案】 ＋＝1 【解析】 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1. 例2：如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是_____． 【答案】 4 【解析】 ∵a2＝3，∴a＝. △ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4. 例3：已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 例4：已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围. 【答案】 见解析 【解析】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a， 由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°① 又|PF1|+|PF2|=2a ② 联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴ 例5：已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( ) A. B．－ C．2 D．－2 【答案】 B 【解析】 设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 两式相减，得＋＝0，所以＝－， 所以k＝＝－.经检验，k＝－满足题意．故弦所在直线的斜率为－.故选B. 五、课堂练习 A级 1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 2.已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( ) A.2 B.6 C.4 D.2 3.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋ ... ...
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