第16讲 空间向量机立体几何 一、知识导图 二、知识导入 今天我们要开始空间向量的学习，说到空间向量，大家首先就会想起上学期所学面向量，两者之间有何共同点与不同点呢？根据名字，两者都为向量，肯定有很多相似之处，如向量是既有大小又有方向的量，而平面与空间的差别，就像一汽水广告所表现出来的，一个纸片人喝了汽水后就变成一个非常饱满的人，从原来的一个平面变成了立体空间结构。 三、知识讲解 知识点1 空间向量的基本概念 空间向量的表示：与平面向量相同，用有向线段表示，如图1-1，向量a的起点为A，终点为B，则向量a也可以记做，其模记为或。 特殊向量 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0，方向任意； 单位向量：模长为1的向量成为单位向量； 相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记做-a。 知识点2 空间向量的运算 1.空间向量的加、减运算 a+b可以由平行四边形法则(如图15-2(1))或三角形法则(如图15-2(2))得到。 b两向量相减可看成两向量相加a+(-b)，加法运算大家都会了，那减法就看成a与b反向量相加。 多个空间向量相加也与平面向量相同，如图15-4中，向量e =a+b+c+d． 2. 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，即． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点3 空间向量的坐标运算 设，则 (1) 即； (3) ； ； 知识点4 空间向量与立体几何的关系 直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为（若只涉及一个平面，则用表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。 1、平行问题（结合图象，直观感觉） 1）线线平行 2）线面平行 3）面面平行 2、垂直问题（结合图象，直观感觉） 1）线线垂直 2）线面垂直 3)面面垂直 3、夹角问题 1）异面直线所成的角（范围： ） 2）线面角（范围：）， 3）二面角（范围：） 4、距离问题 1）点A到点B的距离： 2）点A到线l的距离 在直线上任取点 ， ， 3）点A到面的距离 在平面上任取点 4）异面直线间间的距离 在直线上任取点，在直线上任取点 向量与异面直线的方向向量都垂直 5）直线到平面的距离 在直线上任取一点，转化为点A到面的距离 6）平面到平面的距离 在平面上任取一点，转化为点A到面的距离 四、例题解析 例1：如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为（） （ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】: 设，则，， 则，故选A 例2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ． 【答案】 【解析】：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1） 设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）, 由 可解得＝（1，0，1） 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则， 例3：如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】不妨设CA=CC1=2CB=2,则A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0), 从而cos 故直线BC1与直线AB1夹角的余弦值 例4：如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点 求证：平面 若平面平面，且，求二面角的余弦值． 【解析】解：证明：取中点，连结，， ，，是中点， ，，四边形是平行四边形，， ，，平面平面， 平面，平面． 解：四棱锥的侧面是正三角 ... ...
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