初中数学竞赛中的一元二次方程问题

初中数学竞赛中的一元二次方程问题 桂林洋中学 韩志梅 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有以下关系，如果一元二次方程的两根为，那么，.反过来，如果满足，，则是一元二次方程的两个根．因此，人们把这个关系称为韦达定理。一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，韦达定理是中学数学中的一个有用的工具，是一元二次方程的重要理论，也是各类数学竞赛的重要考察对象. 典型例题 【例1】 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 思路点拨 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、韦达定理，一元二次方程的变形转化为 解析：原式 【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为( ) A． B．或2 C． D．或2 思路点拨 可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件． 解析：①当a=b时，原式=2；②当为方程的两个根，，只能为2或11，原式.故选B. 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合； (2)根据根的定义降次； (3)构造对称式． 【例3】 已知关于的方程： (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、． 思路点拨 对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手． 解析：（1） （2），则 ①若则 ②若 【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值 并求出这个最小值． 思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的． 解析：由 当 时，取得最小值，且最小值为 注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性． 【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根． (1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形 并说明理由． (2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且ABAB AB∥CD,故ABCD是梯形. （2） 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性． 【例6】已知是方程的两个根，求的值. 思路点拨 此解法的关键在于利用是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要． 解析：由于分别是方程的根，所以，， 即，. 所以， 实战例题 1、（江西竞赛试题）若 有两个相等的实数根，则方程的根的情况是（）. A、没有实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不等的实数根 D、根的情况不确定 解析：由题设条件知：，于是有 ①当成立，此时，； ②此时，； ③此时，. 综上三种情况可知所涉方程的根的存在性不确定.故选D. 2、（浙江省竞赛题）一元二次方程中，若a,b都是偶数，c是奇数，则这个方程（） A、有整数根 B、没有整数根 C、没有有理数根 D、没有实数根 解析：假设有整数根，不妨设它的根是分别代入原方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A；若a,b,c分别取4，8，3，则排除C,D. 故选B. 3、（第2届《中学生学 ... ...