第六章 一次函数 新定义型试题 专项训练 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专项训练 新定义型试题 类型一 实数运算中的新定义 1.定义新运算“＠”的运算法则为x＠y＝，如1＠2＝，那么4＠8＝_____. 2.在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b＝-2ab，如：1 5＝-2×1×5＝-10，则式子_____. 3.定义一种新运算：对于任意实数m、n，都有m◎n＝m2-mn-5，等式右边是通常的减法、乘法及乘方运算，比如：2◎3＝22-2×3-5＝4-6-5＝-7，试求◎4的值. 4.定义新运算：ab＝a（1-b），其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：（-1）1＝（-1）×（1-1）＝0. （1）计算：（1＋）； （2）小嘉说：“若a＋b＝0，则aa＋bb＝2ab.”你是否同意他的观点？请说明理由. 类型二 坐标与函数中的新定义 5.定义新运算：a＆b＝，例如：3＆4＝12，3＆（-4）＝12，则函数y＝2＆x（x≠0）的图象大致是（ ） 6.我们把［a，b］称为一次函数y＝ax＋b的“特征数”.如果“特征数”是［2，n＋1］的一次函数为正比例函数，则n的值为_____. 7.新定义：［a，b］为一次函数y＝ax＋b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”若“关联数”为［3，m-2］的一次函数是正比例函数，则点（1-m，1＋m）在第_____象限. 类型三 一次函数与几何图形综合中的新定义 8.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点，如图所示，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点. （1）请判断点M（1，3），N（3，6）是不是和谐点，并说明理由； （2）若和谐点P（a，3）在直线y＝x＋3b（b为常数）上，求a、b的值. 9.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“衍生矩形”.下图为点P，Q的“衍生矩形”的示意图. （1）已知点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，4），求点A，B的“衍生矩形”的面积； （2）已知点A的坐标为（-1，0），点C在直线x＝2上，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，求直线AC的解析式. 参考答案 1. 6 解析 ∵，∴. 2. -2 解析 根据题中新定义的运算得原式＝. 3.解析 ◎4＝（）2-×4-5＝5-4-5＝-4. 4.解析 （1）（1＋）＝（1＋）×（1-）＝1-2＝-1. （2）同意.理由如下： a＋b＝0，∴a＝-b，b＝-a， ∴aa＋bb＝a（-b）＋b（-a）＝a（1＋b）＋b（1＋a）＝（a＋b）＋2ab＝2ab，∴小嘉的观点正确. 5.C 由题意，得y＝2＆x＝， 当x＞0时，正比例函数y＝2x的图象在第一象限， 当x＜0时，正比例函数y＝-2x的图象在第二象限， 又因为正比例函数图象是直线，所以C选项符合. 故选C. 6. -1 解析 由题意得n＋1＝0，解得n＝-1. 7.答案 二 解析 ∵“关联数”为［3，m-2］的一次函数是正比例函数，∴y＝3x＋m-2是正比例函数，∴.m-2＝0，解得m＝2，则1-m＝-1，1＋m＝3，故点（1-m，1＋m）在第二象限.故答案为二. 8.解析 （1）点M不是和谐点，点N是和谐点. 理由：M（1，3），∵C＝（1＋3）×2＝8，S＝1×3＝3， ∵8≠3，∴M（1，3）不是和谐点； ∵N（3，6），∴C＝（3＋6）×2＝18，S＝3×6＝18， ∵18＝18，∴N（3，6）是和谐点. （2）∵P（a，3）是和谐点， ∴（a＋3）×2＝3a或（-a＋3）×2＝-3a，解得a＝6或a＝-6. 把P（6，3）代入y＝x＋3b，得3＝6＋3b，解得b＝-1. 把P（-6，3）代入y＝x＋3b，得3＝-6＋3b，解得b＝3. 综上所述，a＝6，b＝-1或a＝-6，b＝3. 9.解析 （1）∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，4） ∴由定义可知点A，B的“衍生矩形”的宽与长分别为3和4， ∴点A，B的“衍生矩形”的面积为3×4＝12. （2）由定义可知AC是点A，C的“衍生矩形” ... ...