2021-2022学年度华师版九年级数学上册教案 22.1 一元二次方程（1课时）

22.1　一元二次方程 一、基本目标 1．了解一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的一般形式，能指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 2．通过实例认识一元二次方程，并类比一元一次方程，体会类比法和抽象概括的学习方法． 二、重难点目标 【教学重点】 一元二次方程的概念及其一般形式． 【教学难点】 正确将一元二次方程化为一般形式，并能识别其中的“项”及“系数”． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P18～P19的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的__整式方程__叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)，其中a、b、c分别叫做__二次项系数__、__一次项系数__和__常数项__. 3．方程5(x2－x＋1)＝－3x＋2的一般形式是__5x2－2x＋3＝0____，其二次项系数是__5__，一次项系数是__－2__，常数项是__3__. 4．一元二次方程的解：类比一元一次方程的解，一元二次方程的解(根)是使一元二次方程左右两边__相等__的未知数的值． 环节2　合作探究，解决问题 活动1　小组讨论(师生互学) 【例1】下列方程：(1)3x＋2＝5x－3；(2)x2＝4；(3)－1＝x2；(4)x2－4＝(x＋2)2.其中哪些一定是关于x的一元二次方程？ 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程应满足什么条件？ 【解答】(2)一定是关于x的一元二次方程． 【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程的方法：先将其化简，使方程的右边为0，左边合并同类项，然后观察其是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程，最后作出判断． 【例2】把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)2x2＝1－3x；　(2)5x(x－2)＝4x2－3x. 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是什么？什么是二次项系数、一次项系数和常数项？ 【解答】(1)2x2＝1－3x的一般形式是2x2＋3x－1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－1. (2)5x(x－2)＝4x2－3x的一般形式是x2－7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为－7，常数项为0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，只有将一元二次方程化为一般形式后，才能确定二次项系数、一次项系数和常数项，且通常情况下要把二次项系数变为正数． 活动2　巩固练习(学生独学) 1．下列方程是一元二次方程的是(　D　) A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2) C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝0 2．关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，试证明无论a取何值，该方程都是一元二次方程． 证明：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≥4，∴无论a取何值，该方程的二次项系数都不会等于0，即该方程是一元二次方程． 3．已知关于x的方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0. (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出二次项系数、一次项系数及常数项． 解：(1)根据一元一次方程的定义可知：m2－1＝0，m＋1≠0，解得m＝1.即m＝1时，此方程是一元一次方程． (2)根据一元二次方程的定义可知：m2－1≠0，解得m≠±1.即m≠±1时，此方程是一元二次方程，其二次项系数是m2－1、一次项系数是－(m＋1)，常数项是m. 活动3　拓展延伸(学生对学) 【例3】若a为方程x2－3x＋1＝0的一个根，求2a2－6a＋2018的值． 【互动探索】分析法：求代数式的值→确定a的值或与a有关代数式的值→将a代入方程得到a2－3a＝－1. 【解答】∵a为方程x2－3x＋1＝0的一个根， ∴a2－3a＋1＝0， ∴a2－3a＝－1， ∴2a2－6a＋2018＝2(a2－3a)＋2018＝－2＋2018＝2016. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解 ... ...