中小学教育资源及组卷应用平台 2026学年九年级中考数学一轮专题复习三十九：圆中的锐角三角形综合训练 1．如图，在中，，点在边上，以为直径作，交的延长线于点，连接，若切于点． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 2．如图，在中，，是边上一点，以点为圆心、长为半径作，与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，则的长为_____． 3．如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 4．如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 5．如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点． (1)求证：； (2)求的值． 6．已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 7．如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且． (1)试求的度数． (2)①证明：． ②若，求的值． 9．如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，设，求k的值． 10．如图，为外一点，过点作的切线，为切点，分别连接，AO并延长交于点、，若，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．如图，在中，，以点A为圆心作与相切于点D，与相交于点M，与相交于点N．点E为上一点，，过点E作于点F，交线段与点G，连接． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，求的值． 12．如图，内接于，是的直径，点D在上，且平分，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上，且． (1)证明：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的值． 14．如图1，点C在以为直径的上，P是延长线上一点，，过点C作，垂足为D，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点D是的中点，求的度数； (3)如图2，过点B作交于点M，交于点N，连接．若，，求的长． 15．如图，是的直径，C是上一点，弦于点E，且，过A作的切线，过C作的平行线，两直线交于点F，的延长线交的延长线于点G. (1)填空：_____； (2)判断与的位置关系； (3)连接，求的值. 参考答案 1．【详解】（1）解：连接， ∵切于点， ∴，，即， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解∵中，，， ∴，则， 设， 在中，，即， ∴． 2．【详解】（1）证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， 在中， ，即， ． 故答案为：． 3．【详解】（1）证明：∵， ， 在与中， ， ∴． （2）解：过点作，垂足为点．过点作，垂足为点． ∴是等腰直角三角形， 根据勾股定理可知， 设， 则， 在中，∵， ． 4．【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接， ，， 故直线垂直平分线段， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， 由（1）得，， 设， ，， 解得，即， ． 5．【详解】（1）证明：∵为的弦，直径于点E，且， ∴，. 设，的半径为r， 则， 连接， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：如上图，连接， ∵直径于点E，， ∴， ∴， ∴． 6．【解】（1）证明：如图所示，连接， ，是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，连接， ，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 7．【详解】（1）证明：如图，连接， 点为弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：如 ... ...
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