2021-2022学年度北师版八年级数学下册教案 1.4角平分线

4　角平分线 第1课时　角平分线 教学目标 一、基本目标 1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理． 2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力． 二、重难点目标 【教学重点】 角平分线的性质定理及其逆定理． 【教学难点】 掌握角平分线的性质定理及其逆定理并进行证明． 教学过程 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2．角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(　C　) A．OE是∠AOB的平分线 B．OC＝OD C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE＝∠BOE 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为2 cm. 环节2　合作探究，解决问题 活动1　小组讨论(师生互学) 【例1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6　 B．5　　 C．4　 D．3 【互动探索】(引发学生思考)角平分线上的点有什么特征？怎样将求AC的长转化为与△ABC的面积有关的式子？ 【分析】如图，过点D作DF⊥AC于点F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋×AC×2＝7，解得AC＝3. 【答案】D 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.求证： (1)CF＝EB； (2)AB＝AF＋2EB. 【互动探索】(引发学生思考)(1)已知AD是∠BAC的平分线，结合图形，考虑证Rt△DCF≌Rt△DEB，从而得到CF＝EB；(2)怎样证明不在同一直线上的线段和(差)关系？(转化法)→怎样将AB转化为与AF、EB有关？(利用全等证相关线段相等) 【证明】(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵ ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF＝EB. (2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC和Rt△ADE中，∵ ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 【互动总结】(学生总结，老师点评)角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等． 活动2　巩固练习(学生独学) 1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是(　D　) A．9　 B．8　　 C．7　 D．6 2．如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(　C　) A．10　 B．7　　 C．5　 D．4 3．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是15. 4．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线． 活动3　拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 【互动探索】分别过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为E、F、G，然后根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知DE＝DG，从而根据“到角两边距离相等的点在角平分线上”证得结论． 【证明】如题图，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥B ... ...