所以AB⊥ADAB⊥AA 所以∠A4AD为AA4与平面ABCD所成的角 即∠A1AD 且AB⊥平面ADDA 因为ABc平面ABCD 所以平面ABCD⊥平面ADDA 过A做AO⊥AD交AD于O,则AO⊥平面ABCD 设AB=2,则AD=AA=2 在△4O中,O= 1A cos=1,AO=A4cos=√5 以O为坐标原点,分别以射线OA,OA1为x,z轴正半轴,以过O点且平行于 CD的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系 高二数学试题答案第2页(共6页) 则A(,00),C(-1,2,0),A4(0.0√5),D1(-2,0,√5),N(,0,3 所以,CN=(,一2,一),DN=(=,0,-) 设平面NCD的一个法向量m=(x,y1,1),则有 meCN=0 moDN=0 √,则y=2√3,x1=5,则m=(√,23.,5 平面ABCD的一个法向量O4=(0.0.√3 设平面ABCD与平面NCD夹角为O 所以cosO √3√0 mOA, 即平面ABCD与平面NCD夹角的余弦值为 √0 12分 20.解:(1)设线段MN的中点C(x,y),当点C运动时,它到原点O的距离为定长,即 RtAMOM的斜边上的中线长 1分 因为N|=4,所以|OCF2 所以点C的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆 3分 所以点C的轨迹方程是x2 4分 (2)(i)直线l:(2m+1)x+(m+1)y-3m-2=0可整理为 (2x+y-3)+x+y-2=0 方程组J2x+y-3=0 的解为x=y 5分 x+y-2=0 所以直线/恒过定点D(,) 6分 将点(1,1)代入圆C的方程有1 2<4,所以点D(L,1)在圆C的内部 7分 高二数学试题答案第3页(共6页) 所以直线l与曲线C恒有两个不同交点 8分 (i)由(i)知,当直线l垂直于OD时被截得的弦长最短 因为kO=1,所以直线l的斜率k 9分 所以m=0,此时直线l的方程为x-y-2=0 10分 又|OD√2,所以此时弦长为24-2=2√2 11分 所以直线l被曲线C截得的最短弦长为2√2 12分 21解:(1)证明:在菱形ABCD中,E为AB的中点,∠BAD=60 所以DE⊥CD 1分 因为平面ADE⊥平面BCDE,且平面ADEI平面BCDE 所以CD⊥平面ADE 3分 又CDc平面ACD 所以平面ADE⊥平面ACD 4分 (2)由(1)可知,EA,EB.,ED两两垂直,所以,以E为坐标原点,射线EA,EB,ED分 别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系 分 E(0,0,0),AO,0,1),B(1,00),C(2,√3,0),D(0,√3,0),F(0 6分
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