2021-2022学年第一学期高二年级期中考试 数学试题参考答案 单选题 B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.D 8.D 多选题 BC 10. ACD 11 .AB 12.BCD 填空题 2 14.-5 15.,16. 解答题 解：（1）因为，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a= -2. 所以当时，a=4或a= -2 （5分） 因为，所以4a= -2(a-2），解得a=. 检验：此时，，成立. 所以当时，a=(10分） 注：若没有检验，则扣1分. 18.解：（1）若此方程表示圆，则（-2)2+42-4×4m>0，m <（4分） （2）由（1）可知m=1，此时圆E： 圆心坐标为E（1，-2），半径为1， (6分） 因为圆F和圆E关于y轴对称，所以圆F圆心坐标是（-1，-2），半径是1 故圆F方程为（x+1)2+(y+2)2=1， 化为一般方程为（12分） 注：没有化成一般式扣1分. 19.解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 将点A和B分别代入，得 ，解得 ,所以椭圆的标准方程为 (6分） （2）由题意可知2c=8，c=4 (a)当双曲线焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为 ，有8λ =16，λ=2. 双曲线的标准方程为 (b)当双曲线焦点在y轴上时，设所求双曲线方程为 即，有-8λ =16，λ=-2. 双曲线的标准方程为（11分） 综上，双曲线的标准方程为或（12分） 注：其他分类方法，酌情给分. 如果没有分类讨论，扣3分. 20.（1）设，则由题意，且 即 化简得（5分） 由题意，∴轮船航行直线方程： 圆心到直线的距离 如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区（9分） 直线被圆截得的弦长 它在安全预警区中的航行时间（11分） 答：如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为个小时。（12分） (1)由题意得，解得p=1,所以抛物线方程为y2=2x.（4分） 注：不加绝对值，又没有假设A点在x轴上方，扣1分. （2）显然k≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2）,联立，消去y，得k2x2+2(k-1)x+1=0 △>0，k< 因为以MN为直径的圆经过点O，所以OMON，x1x2+y1y2=0（6分） 因为y1=kx1+1,y2=kx2+1 所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= +=0，k= - 所以直线的方程为y=-x+1.（12分） 22.（1）当时，得，因为，所以 所以椭圆的方程为（3分） （2）①设点， 若过点的两条切线斜率都存在，设过点与椭圆相切的直线方程为，与 联立消去得 由题意 整理得，显然有（5分） 由题意直线的斜率是方程的两个实数根 所以得，所以 若过点的两条切线中有一条斜率不存在，则另一条切线的斜率为0,从而可求得，显然满足 所以点的轨迹曲线的方程为（7分） ②易求得椭圆的左顶点，曲线与轴正向的交点为 设，则有，，，（9分） 所以，（11分） 所以（12分） B y O C A x
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