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课件网) 1.3 向量的数乘 第1章 2022 内容索引 01 02 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 课标阐释 1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算法则,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象) 2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象) 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.(数学运算、直观想象) 思维脉络 课前篇 自主预习 【激趣诱思】 在疾风骤雨、雷电交加的夜晚,为什么我们总是先看到 闪电,后听到雷声 这是因为在同一方向上光速远远大于 声速.经测量,光速的大小约为声速的8.7×105倍. 一重物由高空自由落下,由自由落体运动的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下. 上述情境中涉及的速度之间有什么关系 【知识点拨】 知识点一:向量的数乘 1.向量的数乘的定义 一般地,实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,称为a的λ倍,它的长度|λa|=|λ||a|. (1)当λ≠0且a≠0时,λa的方向如下: ①当λ>0时,与a同向; ②当λ<0时,与a反向. (2)当λ=0或a=0时,λa=0a= 0 或λa= λ0 =0. 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘. 2.向量的数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小. 3.向量的线性运算: 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算. 要点笔记 对向量的数乘的理解 (1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义. (2)若λa=0,则λ=0或a=0. 微判断 (1)对于任意的向量a,总有0·a=0.( ) (2)当λ>0时,|λa|=λa.( ) (3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 微练习 已知向量a与向量b(如图),求作向量-2.5a和向量2a-3b. 知识点二:共线向量 1.定义:当非零向量a,b方向相同或相反时,我们既称a,b共线,也称a,b平行,并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行),记作a∥b. 我们规定:零向量与所有的向量平行. 2.两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b 存在实数λ,使得b=λa或a=λb. 该结论通常称为共线向量基本定理 3.向量a,b的夹角:设a,b是两个非零向量,任选一点O,作 =a, =b,则射线OA,OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角,记作
. 找两向量夹角时,需通过平移使两向量起点重合 名师点析 向量夹角的说明: (1)夹角的取值范围规定为[0,π]. (2)=. (3)当θ=0时,a,b方向相同;当θ=π时,a,b方向相反;特别地,当θ= 时,a与b垂直,记作a⊥b. (4)可以规定零向量0与a的夹角为0,零向量与任一向量平行,也可以规定0与a的夹角为 ,零向量与任一向量垂直. 微判断 (1)若向量a和b共线,则必有b=λa.( ) (3)a∥b,c∥b,则a∥c.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 微拓展 对向量平行的理解 (1)向量平行(共线)时,向量所在的直线平行或重合. (2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同模相等、方向相同模不等、方向相反模相等、方向相反模不等. (3)任一向量a都与它本身是平行向量. 知识点三:共线向量的运算 1.单位向量 我们把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度. 对于任一非零向量a,都可得到与它方向相同的唯一单位向量e= a. 2.共线向量的运算 一般地,在一条直线上任取单位向量e,则直线上任何向量a都可写成a=ae,其中实数a的绝对值|a|代表向量a的模,a的正负代表a与e的方向相同或相反.反过来,任意给定一个实数a,我们总能作一个向量a=ae,使它的长度等于这个实数a的绝对值,方向与实数a的符号一致. 于是,实数与共线向量之间可以建立起一一对应关系. 微练习 若单位向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有 ... ... 