有理数的意义与有理数和数轴

第一讲 有理数的意义 一、知识梳理 1．有理数的分类: 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 3．相反数的意义 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 a的相反数为－a。 注意：（1）两个互为相反数的数，它们符号相反 （2）两个互为相反数的数，其绝对值相等； （3）两个互为相反数的数和为零；两个互为倒数的数积为1 4．绝对值的概念： （１）．在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。对于任意一个数a , a的绝对值用｜a｜表示。｜a｜是数轴上表示a的点到原点的距离，即｜a｜代表的是一个长度，所以｜a｜表示的一定是一个非负数。 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 ｜a｜＝ 5．比较两个有理数的大小。 （1）．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 负数小于0，正数大于0，正数大于一切负数。 （2）．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 二、典例剖析 专题一：正负数 例1：填空： （1）如果收入50元记作+50元，那么支出20元记作 ，-80元表示 . （2）仪表的指针顺时针方向旋转45°记作-45°，那么逆时针旋转50°记作 . （3）如果气温是零上5℃，那么，气温比0℃低3℃记作 . （4）如果把比海平面高规定为正，则25 m表示 ，0 m 表示 . ◆变式拓展训练◆ 最小的正整数是_____；最大的负整数是_____；最小的非负整数是_____；最大的非正整数是_____。 专题二：有理数的综合 例2：把下列各数填在相应的集合中： 5；―2；―0.3；；0；―；5.57；―1；π；102；―78；―104 ；π。 正数集合的有：_____；整数集合的有：_____； 分数集合的有：_____；负数集合的有：_____； 正整数集合的有：_____；非正整数集合的有：_____； 有理数集合的有：_____；既不是正数，又不是负数的有：_____。 专题三：数轴 例3：在数轴上把数4.5、―2.5、0、|―3|、―（―1）、―|―2|表示出来，并用“＜”号把它们连接起来。 ◆变式拓展训练◆ 1、若果a和b是符号相反的两个数,在数轴上a所对应的点和b所对应的点相距6个单位长度,如果a=－2,则b的值为 . 2、贝贝写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分 的整数共有 个，它们是 . –6 -1 0 1 5 6 专题四：相反数 例4：填空 简化（1）+（―5.2）=_____; (2) ―[―(+5)] =_____ (3)―{―[―(+2.7)]}=_____;(4)|―[―(―2.3)]|=_____ 2、_____的相反数是它本身。_____的倒数等于它本身。 3、如果―x=7,那么x=____。 4、如果a是负数，那么―a_____0;如果―a是负数，那么a____0 例5：数a、b在数轴上表示的点如图，比较a、b、―a、―b的大小 专题五：绝对值 例6：填空：1.已知|a|=2,则a=_____；如果|－x|=，则x=_____。 2.如果a＞0，则|2a|= _____；如果a＜0,则|2a|=_____。 3._____的绝对值等于它本身。 4.绝对值不大于3的整数有_____ 5.|x|=－x；则x是_____数。 例7：分类讨论的值的情况； 例8：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|c-b|+|a-c|-|b-c| ◆变式拓展训练◆ 1．填空。 （1）；；． （2）；；． （3）；． （4）如果，则，． 2．已知，求的值. 3．已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，求代数式： －cd+|m|的值。 专题六：比较有理数的大小 例9：1、比较大小：_____－4.5，－0.0001_____ 0，－6____－7，____. 2、大于－3且小于7的整数有_____，其中偶数有_____个. 3、绝对值大于2而且小于6的所有整数分别是_____. 4、若且， ... ...