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课件网) 赵州石拱桥 1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 垂直于弦的直径 ———（垂径定理） 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，圆是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是它的对称轴． 一、 实践探究 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上 任意一点关于直径所在直线（对称轴） 的对称点也在圆上。 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E． （1）点A与点B关于直径CD所在的直线对称吗？ 思 考 C · O A B D E 二、 （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ C A E B O . D 总结： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。 CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 结论 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE AC=BC AD=BD 应用垂径定理的几何语言 定理 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. E O A B D C E A B C D E O A B D C E O A B C E O C D A B O B A E D 在下列图形中，有符合垂径定理的条件吗？ O 练习一 借你慧眼 垂径定理的几个基本图形 例题一：. 如图：弓形的弦长AB为24cm， 弓形的高CD为8cm，求弓形所 在圆的半径。 D C A B O 解：连接OA,由题意可知，OC┴AB, ∴AD= AB=12cm 设OA=rcm,则OD=(r-8)cm ∵在直角三角形OAD中， ∴ ∴r=13 答：所在圆的半径是13cm. 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 3．半径为2cm的⊙O中，过半径OC 中点且垂直于这条半径的弦AB 长是 。 8cm A B O E A B O E O A B E 练习二 C A B C D 例题二： 如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E，则 AE=BE，CE=DE ∴AE-CE=BE-DE 即 AC=BD O E 练习三 如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. ∴ ∵ OE⊥AC OD⊥AB 例2：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 再逛赵州石拱桥 解：如图，设AB所在圆的圆心 为O,半径为R， 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.3 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. D 37 7.23 赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？ AB=37 CD=7.23 R 18.5 R-7.23 方法归纳: 1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？ ２、从方法上学习了什么？ 课堂小结 圆的轴对称性；垂径定理 （１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 ———过圆心作垂直于弦的线段； ———连接半径。 同学们再见！ ... ...
