2.4.2 抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一 抛物线几何性质的应用 1.(2018湖南长沙高三上学期期末)已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是 ( ) A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2 2.抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的曲线的焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(-1,0) C. D. 3.设A,B是抛物线x2=4y上的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.已知抛物线的离心率为e,焦点为(0,e),则抛物线的标准方程为 . 5.已知抛物线y2=8x. (1)写出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围; (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 题组二 抛物线的中点弦、焦点弦问题 6.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=( ) A.5 B.6 C.8 D.10 7.设抛物线y2=9x与直线2x-3y-8=0交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为( ) A. B. C. D. 8.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 9.已知直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程. 题组三 直线与抛物线的位置关系 10.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 11.若直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则实数k的值为( ) A.1 B.1或3 C.0 D.0或1 12.若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a≠0)恰好有一个公共点,求实数a的取值集合. 13.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△AOB的面积等于时,求k的值. 能力提升练 一、选择题 1.(四川成都双流中学高三月考,★★)过点(-1,0)且倾斜角为45°的直线与抛物线y2=4x的位置关系是( ) A.相交且有两个公共点 B.相交且有一个公共点 C.相切且有一个公共点 D.无公共点 2.(广东梅州高三质检,★★)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于点A,B,=3,抛物线的准线l与x轴交于点C,AM⊥l于点M,则四边形AMCF的面积为( ) A.12 B.12 C.8 D.6 3.(湖北襄阳高三调研,★★)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若△OFM(O为坐标原点)的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.(吉林长春高三月考,★★)已知椭圆+=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A,B两点(点A在x轴上方),则的值为( ) A. B.2 C.3 D.4 5.(2018广东佛山高二月考,★★)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则的值为( ) A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 6.(2018江西宜春高二月考,★★★)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. 二、填空题 7.(四川成都石室中学高三开学考试,★★)已知抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F,O为坐标原点,点M在线段OB上,且|OB|=3|OM|,点N在射线OA上,且|ON|=3|OA|,过M,N分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为C,D,则|CD|的最小值为 . 8.(安徽宣城高二期末,★★)已知抛物线E:y2=12x的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作AM⊥l,垂足为M,AM的中点为N,若AM⊥FN,则|AB|= . 9. (北京丰台高三期末,★★★)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,则F的坐标为 ;过点F的直线交抛物线C于A,B两 ... ...
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