专题强化练3 平行关系的探索问题 一、选择题 1.(★★)设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点C( ) A.不共面 B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.无论A,B如何移动都共面 2.(2018北京通州高三期末,★★)如图,棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点, 且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 二、填空题 3.(2018陕西延安模拟,★★)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,CB,CD的中点,点H在四边形A1ADD1的边及内部运动,则H满足 时,有B1H∥平面MNP. 三、解答题 4.(★★)如图所示,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,点P是圆O所在平面外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明. 5.(2017辽宁省实验中学高一上学期月考,★★)如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF.试确定点M的位置. 6.(★★★)如图所示,矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折. (1)求证:当F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FAD; (2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总和线段FD平行.”这个结论对吗 如果对,请证明;如果不对,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立. 答案全解全析 一、选择题 1.D 由面面平行的性质知,无论A,B如何运动,动点C均在过点C且与α,β都平行的平面上. 2.D 如图,任取线段A1B上一点M,过M作MH∥AA1,交AB于H,过H作HG∥AC交BC于G,过G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有无数条. 二、填空题 3.答案 H∈线段AD1 解析 连接BD,B1D1,C1D,B1A,AD1. ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,CB,CD的中点, ∴PN∥BD∥B1D1,PM∥C1D∥B1A,MN∥AD1. ∵PN∩PM=P,AB1∩B1D1=B1, ∴平面AB1D1∥平面MNP, ∴H∈线段AD1时,有B1H∥平面MNP. 三、解答题 4.解析 直线l∥平面PAC.证明如下: 因为E,F分别是PA,PC的中点, 所以EF∥AC. 又EF 平面ABC,AC 平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 而EF 平面BEF,平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l. 因为l 平面PAC,EF 平面PAC, 所以直线l∥平面PAC. 5.解析 如图,连接BD,交AC于点O1,连接OM. 因为PC∥平面MEF,PC 平面PAC,平面PAC∩平面MEF=OM, 所以PC∥OM, 所以=. 在菱形ABCD中,因为E,F分别为边BC,CD的中点, 所以=. 又AO1=O1C, 所以==, 故PM∶MA=1∶3,即点M为线段PA上靠近点P的四等分点. 6.解析 (1)证明:在平面图形中,连接MN,设MN与AB交于点G. 由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD=AF,从而有AD∥BE且AD=BE, ∴四边形ADBE是平行四边形. 又AM=DN,根据比例关系得到MN∥AD. 折叠之后,MG∥AF,NG∥AD,如图, ∴平面ADF∥平面GNM. 又MN 平面GNM,∴MN∥平面ADF. ∴当F、A、D不共线时,MN总平行于平面ADF. (2)这个结论不对.要使结论成立,M、N应分别为AE和DB的中点. 由于平面MNG∥平面FDA,可知要使MN∥FD总成立,根据面面平行的性质定理,只要FD与MN共面即可. 若要使FD与MN共面,连接FM,只要FM与DN相交即可. 由平面图形知,若要DN和FM共面,应有DN与FM相交于点B,折叠后的图形如图所示. ∵FM∩DN=B,可知它们确定一个平面,即F、D、N、M四点共面. 又平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA=FD,∴MN∥FD. ... ...
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