中小学教育资源及组卷应用平台 专题八 平面解析几何 03 圆的方程 考纲对本模块内容的具体要求如下： 圆的方程是高中数学中必学知识点，在高考中圆的知识也是每年都出现，但单独考察圆的方程的题目比较少，至少近几年几乎没有出现，在圆的方程的考察方面主要是与直线相结合来出题，以基础题目为主.预计2022年的高考圆的方程还是以基础为主，注重课本基础知识，注重几何与代数转化思想的应用. 数学运算：求圆的标准方程、一般方程. 数学建模：圆的标准方程及应用. 逻辑推理：求动点的轨迹方程. 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圆心， 半径 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. [常用结论] 1．圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 考点一 圆的方程 （1）（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 圆的圆心为，半径为，得到圆方程. 【详解】 根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：. 故选：B. （2）（2021·全国·高二期中（文））已知，，，则外接圆的方程为_____． 【答案】 【分析】 利用待定系数法进行求解即可. 【详解】 设外接圆的方程为， 因为，，， 所以有：且且，解得：， 因此外接圆的方程为， 故答案为： 【规律方法】 求圆的方程的两种方法 （1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. （2）待定系数法：①若已知条件与圆心 a，b 和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 【跟踪练习】（1）（2021·江西·湾里第一中学高二期中（理））己知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ） A．（x－2）2+y2= 13 B．（x+2）2+y2= 17 C．（x+1）2 +y2= 40 D．（x－1）2 +y2 = 20 【答案】D 【分析】 设圆心坐标为，由圆心到距离相等求得，然后再求出半径后可得． 【详解】 由题意，设圆心坐标为，则，解得， 圆半径为． 所以圆方程为． 故选：D． （2）（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）圆关于y轴对称的圆的标准方程为_____. 【答案】 【分析】 根据题意可得圆心坐标为，半径为1，利用平面直角坐标系点关于坐标轴对称的特征可得所求的圆心坐标为，半径为1，进而得出结果. 【详解】 由题意知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设圆关于y轴对称的圆为， 所以，半径为1， 所以的标准方程为. 故答案为： 考点二 与圆有关的最值问题 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【解析】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2. 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直线MQ的斜率k. 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. 由直线MQ与圆C有交点，所以≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 【规律方法】 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 （1）形如μ＝形式的最值问题可 ... ...
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