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课件网) 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 必备知识·自主学习 两角差的余弦公式 公式:cos (α-β)=_____ (1)简记符号:C(α-β) (2)适用条件:公式中的角α,β都是任意角. 导思 (1)两角差的余弦公式是什么 (2)公式中的α,β是任意的吗 cosαcosβ+sinαsinβ. 【思考】 1.公式的结构特征是怎样的 提示:左端为两角差的余弦,右端为角α,β的同名三角函数积的和,即差角余弦等于同名积之和. 2.公式中的角α,β可以为几个角的组合吗 提示:可以.公式中α,β都是任意角,可以是一个角,也可以是几个角的组合. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)cos (70°-40°)=cos 70°+cos 40°. ( ) (2)对任意α,β,cos (α-β)=cos α-cos β都不成立. ( ) (3)对任意α,β∈R,cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β都成立. ( ) (4)cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=1. ( ) 提示:(1)×.cos (70°-40°)=cos 30°≠cos 70°+cos 40°. (2)×.当α=-45°,β=45°时,cos (α-β)=cos (-45°-45°) =cos (-90°)=0,cos α-cos β=cos (-45°)-cos 45°=0,此时 cos (α-β)=cos α-cos β. (3)√.结论为两角差的余弦公式. (4)×.cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=cos (60°-30°)=cos 30°= . 2.(教材二次开发:练习改编)cos 45°cos 15°+sin 45°sin 15°等于 ( ) 【解析】选B.原式=cos(45°-15°)=cos 30°= . 关键能力·合作学习 类型一 两角差的余弦公式的简单应用(数学运算、直观想象) 【题组训练】 1. sin +cos 的值为 ( ) A. B.1 C. D. 2.(1)cos cos +cos sin . (2) cos 105°+ sin 105°. 【解析】1.选C.原式=2 =2 = (2) =cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105° =cos(60°-105°)=cos(-45°)= . 【解题策略】 利用两角差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值. (2)充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值. 【补偿训练】 求下列各式的值:(1)cos . (2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°). 【解析】(1) (2)原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280° =-sin 100°sin 20°-cos 20°cos 80° =-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)=-cos 60°=- . 类型二 给值求值问题(直观想象、数学运算) 角度1 同角关系式求值 【典例】(2020·成都高一检测)已知cos α= ,α是第四象限角, sin β= ,β是第二象限角,求cos(α-β)的值. 【思路导引】先利用角的象限及同角三角函数关系求另一三角函数,再利用两 角差的余弦公式求值. 【解析】因为cos α= ,α是第四象限角, 所以sin α=- =- 因为sin β= ,β是第二象限角, 所以cos β= 则cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β 【变式探究】 已知sin α= ,α∈ ,则cos 的值为_____. 【解析】因为sin α= ,α∈ , 所以cos α= 所以cos =cos cos α+sin sin α= × + × = . 答案: 角度2 变角代换求值 【典例】设α,β都是锐角,且cos α= ,sin (α+β)= ,则cos β= ( ) 【思路导引】考虑如何用已知角α,α+β的差来表示所求角β,进而利用两角 差的余弦公式解决. 【解析】选A.依题意得sin α= cos (α+β) = 又α,β均为锐角, 所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β). 因为 所以cos (α+β)=- . 于是cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin (α+β)sin α 【解题策略】 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“ ... ...
