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课件网) 2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.掌握等式的性质,能够对二次三项式实施因式分解,会通过因式分解解一元 二次方程. 2.理解一元二次方程根与系数的关系. 等式的性质 (1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,等式仍成立. 如果a=b,那么a±c=① b±c . (2)等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式,等式仍成立. 如果a=b,那么ac=② bc ; 如果a=b,c≠0,那么 =③ . 因式分解 1.恒等式 平方差公式:a2-b2=④ (a+b)(a-b) . 两数和(差)的平方公式: (a±b)2=⑤ a2±2ab+b2 . 立方差与立方和公式: a3±b3=⑥ (a±b)(a2 ab+b2) . 关于x的二次三项式x2+(a+b)x+ab可分解为(x+a)(x+b). 十字左边相乘等于x2,是二次项; 十字右边相乘等于ab,是常数项. 交叉相乘为bx和ax,再相加就是ax+bx=(a+b)x,是一次项. 助记法则:竖分常数交叉验,横写因式不能乱. 图示解读: 2.十字相乘法 配方法 解法步骤:(1)化二次项系数为⑦ 1 ;(2)移项:把 ⑧ 常数 项移到方程的右边,二次项和一次项 移到方程的左边;(3)配方:方程两边都加上⑨ 一次项系数一半的平方 ,使左边配成一个式子 平方的形式;(4)解方程:若方程右边是非负数,通 过直接开平方法求方程的根 公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,x =⑩ 一元二次方程的解法 因式分 解法 一元二次方程化为一般形式后,如果左边能分解 因式,即产生A·B=0的形式,则可将原方程化为两 个 一元一次 方程,即A=0或B=0,从而得方 程的两根 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是 b2-4ac ,通常用符号 Δ 来表示.利用根的判别式,不解方程就可以判断方程根的情况:当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根;当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0 时,方程没有实数根. 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,设这个方程的两根为x1,x2, 则x1+x2= - ,x1x2= . 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以(x-1),得2=3,其错误的原因是不能确定x-1的 值是不是0. ( √ ) 方程两边不能同时除以(x-1),因为不能确定x-1的值是不是0. 2.利用平方差公式计算(2x-5)(-2x-5)的结果是4x2-25. ( ) (2x-5)(-2x-5)=-(2x-5)(2x+5)=-(4x2-25)=25-4x2. 3.y2+7y-18=(y-9)(y+2). ( ) y2+7y-18=(y+9)(y-2). 4.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k的值为11. ( ) 根据题意知-(k-1)=±2×5×1,∴1-k=±10,即1-k=10或1-k=-10,得k=-9或k=11. 5.若k>1,则关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两个正根. ( √ ) Δ=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9,∵k>1,∴Δ>17,∴方程有两个不相等的实数根,设为 x1,x2,∴x1+x2= > >0,x1·x2= > >0,∴x1>0,x2>0,∴方程有两个正根. 将多项式乘法公式:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab从右到左使用,即可得到“十字相乘 法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 示例: 分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). 已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. 问题 1.方程是否总有两个实数根 提示:利用判别式Δ的值与零的大小关系来判断,因为Δ=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=(k- 1)2≥0,所以方程总有两个实数根. 因式分解与解方程 2.x2-(k+3)x+2k+2能用“十字相乘法”进行因式分解吗 提示:能,x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1). 3.若上述方程有一个根小于1,如何求k的取值范围 提示:∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0, ∴x1=2,x2=k+1. ∵方程有一个根小于1,∴k+1<1,解得k<0, ∴k的取值范围为k<0. 十字相乘法分解因式的基本模型为:ax2+bx+c=(a1x+c1)·(a2x+c2)(a≠0).其实质是二 项 ... ...
