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课件网) 角平分线 请你帮帮它 如图，两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，小猪看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？ 房子该建在哪儿呢？ 情境导航 学习目标： 1.经历角平分线的性质的证明过程，掌握角平分线的性质定理及其逆定理. 2.能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关问题. 3.通过观察、类比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ A O B C 再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？ （对折） 情境问题 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角平分线上的点到角的两边的距离相等. 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ ∠PDO= ∠PEO=900 在△PDO和△PEO中, ∵∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE (3)验证猜想 几何语言表示为: ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等） P A O B C E D 1 2 (4)得到角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 1、请你写出角平分线性质定理的逆命题： 2、这个命题是否正确？你能用逻辑推理的方法加以验证吗？试一试。 交流总结 角的内部 到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 证明: 过点O、Q作射线OQ. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90° (垂直的定义) 在Rt△QDO和Rt△QEO中 ∵ QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用几何语言表示为： 总结归纳： 角平分线性质定理的逆定理 角平分线的判定定理 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P也在∠BAC的平分线上. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, PD⊥AB， PE⊥BC A B C P M N D E F ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角两边的距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∴点P在∠BAC的平分线上. 试一试 通过本题的证明，你能得到一个关于三角形角平分线的什么结论？ 三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。 想一想 判断题（ ） ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴BD = DC (角的平分线上的点到角的两边的距离相等。) × 1、如图，点P是菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F,已知PF=5，则PE= 2、如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB= 学以致用 O P A B 5 60° B D A C F E P 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 与你的同伴交流一下。 课堂小结 布置作业： 1、必做题：课本P98练习1、2； 2、选做题：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且BC=8 cm，求△DEC的周长。 B A D E C 谢 谢 ... ...
