高考试题中三角函数问题的类型与解法 学案

高考试题中三角函数问题的类型与解法 大家知道，三角函数问题是近几年高考的热点内容之一，每年高考不是一个大题，就是两到三个小题，分值在十分至十五分之间。从题型上看，可能是大题，也可能是选择题（或填空题）；难度系数为中档或低档。纵观近几年的高考试题，归结起来三角函数问题主要包括：①任意角三角函数的概念；②同角三角函数基本关系和三角函数诱导公式及运用；③三角函数图像和性质及运用；④三角函数和角，差角，二倍角公式及运用；⑤正弦定理和余弦定理及运用；⑥三角函数综合性问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答三角函问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、（理）已知函数f(x)=2cos(x+ )的部分图像如图所示，则满足条件[f(x)- f(-)][f(x)- f()]>0的最小正整数x为 。 （文）已知函数f(x)=2cos(x+ )的部分图像如图所示，则f()= （2021全国高考甲卷）。 （理科图） （文科图） 【解析】 【考点】①余弦三角函数的定义与性质；②余弦型三角函数的定义与性质；③处理余弦型三角函数的基本方法。 【解答思路】（理）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法得到关于x的不等式，求解不等式求出x的取值范围就可求出最小正整数x的值。（文）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法就可求出f()的值。 【详细解答】由图知=-=，T=，===2，f(x)=2cos(2x+ )，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2cos(2+ )=2cos(+ )，+ =k+，=k-（kZ），||<，=-，f(x)=2cos(2x-)， f(-) =2cos(-2-)=2cos(--)=2cos=1，f()=2cos(2-)=2cos(-) =2cos=0，[f(x)- f(-)][f(x)- f()]>0 [f(x)- 1)]f(x)>0 f(x)- 1>0且f(x)>0或 f(x)- 1<0且f(x)<0， cos(2x-)>且cos(2x-)>0或cos(2x-)<且cos(2x-)<0， cos(2x-)>或cos(2x-)<0， 2k-<2x- <2k+或2k+<2x-<2k +，k-0的最小正整数x为2。（文） 由图知=-=，T=，===2，f(x)=2cos(2x+)，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2cos(2+ )=2cos(+ )，+=k+， =k-（kZ），||<，=-，f(x)=2cos(2x-)， f()=2cos(2 -)=2cos(-)=-2cos=-2=-。 2、（理）把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y=sin(x-)的图像，则f(x)=（ ） A sin(-) B sin (+) C sin(2x-) D sin(2x+) （文）函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是（ ）（2021全国高考乙卷） A 3和 B 3和2 C 6和 D 6和2 【解析】 【考点】①三角函数图像伸缩变换的定义与性质；②三角函数图像平移变换的定义与性质；③三角函数辅助角公式及运用；④处理正弦型三角函数的基本方法。 【解题思路】（理）运用三角函数图像伸缩变换和平移变换的性质，确定函数f(x)的解析式就可得出选项。（文）根据三角函数辅助角公式，把函数f(x)化为正弦型三角函数，运用处理正弦型三角函数的基本方法求出函数f(x)的最小正周期和最大值就可得出选项。 【详细解答】（理）设f(x)=sin (x+ )， f(2x)=sin (2x+ )，f(2（x-)）=sin [2（x-)+ )= sin (2x-+ )= sin(x-)，2=1①，-+ =-②，联立①②解得：=，=， f(x)= sin (+)，B正确，选B。（文） f(x)=sin +cos=sin（+），函数f(x)的最小正周期T== 6，=1=， C正确，选C。 3、下列区间中，函数f(x)=7sin（x-）单调递增的区间是（ ）（2021全国高考新高考I） A (0，) B ( ... ...