中小学教育资源及组卷应用平台 13.3.2等边三角形 等边三角形的性质和判定 知识要点： 等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都 ，并且每一个内角都等于 ；（2）等边三角形是 图形，它有 对称轴． 2．等边三角形的判定：（1）三条边都 的三角形是等边三角形；（2）三个角都 的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 易错点睛： 如图，等边ΔABC的边长为6，点D为直线BC上一点，BD＝2，DE//AB交直线AC于点E，则DE的长为 _____ 【点睛】点D可能在点B的右边，也可能在点B的左边. 典例讲解： 题型一、等边三角形性质与判定的应用 例1、如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF. 求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数． 解题策略：题目中出现等边三角形是注意三个性质的应用。 如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是 ( ) A.8+2a B.8+a C.6+a D.6+2a 2、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上,MC=NC.求证:△AMN是等边三角形. 题型二、等边三角形中的动点问题 例2、如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点M第一次到达点C时,M,N同时停止运动. (1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合 (2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形 解题策略：根据题干分类讨论，利用等边建立方程求解。 变式练习： 3、如图1，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 当堂练习： 如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB＝4，则BD＝ ,∠BAD=_____ 2．如图，在ΔABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点F，E．若ΔAEC是等边三角形，则∠B= _____ 3．如图，P，Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小是_____ 4．如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a//b，∠1＝42°，则∠2的度数为：_____ 如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F． （1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数． 6.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48m，则AC＝ m． 7.如图，ΔABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．判断DEF的形状并证明你的结论. 8.如图，在ΔABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE//AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（ B ）A.9 B.8 C.6 D.7 9.【经典题】如图，ZAOB＝60°，OA＝OB，C为线段OB上一点，以AC为边在右侧作等边ΔACD，连接BD．（1）求证：DB//OA；（2）探究AB，CB与BD之间的数量关系，说明理由． 10．【经典题】如图，在等边ΔABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG. （1）求证：BD＝CE；（2）求证：EF＝BC． 11．（1）【问题背景】如图1，ΔABC为等边三角形，D为AB上一点，F为BC延长线上一点，AD＝CF，连接DF交AC于点E，为了探究DE与EF的数量关系，小明同学发现在AC上截取AM＝AD，连接DM，可以找到解题思路，请你直接写出DE与EF的数量关系. （2）【变式应用】如图2，ΔABC为等边三角形，E为AC上一点，F为BC延长线上一点，AE＝CF，连接BE.求证：BE＝EF. （3）【拓展创新】如图3，在ΔABC中，∠ABC＝60°，∠BAC ... ...
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