3.3 几何概型 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 在区间 随机取 个数，则取到的数小于 的概率为 A. B. C. D. 2. 十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少 ”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设 为圆 上一个定点，在圆周上随机取一点 ，连接 ，所得弦长 大于圆 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为 A. B. C. D. 3. 从正六边形的 个顶点中随机选择 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 A. B. C. D. 4. 在正方形 内随机生成 个点，其中在正方形 内切圆内的点共有 个，利用随机模拟的方法，估计圆周率 的近似值为 A. B. C. D. 5. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 小时，假定它们在一昼夜的时间中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 A. B. C. D. 6. 甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面，先到的人等另外一个人 分钟方可离开，若他们在限时内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为 A. B. C. D. 7. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. 8. 如图在圆 中，， 是圆 互相垂直的两条直径，现分别以 ，，， 为直径作四个圆，在圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. B. C. D. 9. 一只蚂蚁在边长为 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 的区域内的概率为 A. B. C. D. 10. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线 与直线 ， 所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了 个在区间 上的均匀随机数 和 个在区间 上的均匀随机数 ，其数据如下表的前两行． 由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 11. 在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字和为 ，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为 ，现从 ，，，， 中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为 ． 12. 明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．上图是来氏太极图，其大圆半径为 ，大圆内部的同心小圆半径为 ，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为 ． 13. 某同学从区间 随机抽取 个数 ，，，，，，，，构成 个数对 ，，，，该同学用随机模拟的方法估计 个数对中两数的平方和小于 （即落在以原点为圆心， 为半径的圆内）的个数，则满足上述条件的数对约有 个． 14. 设函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 ，可以用随机模拟方法近似计算由曲线 及直线 ，， 所围成部分的面积 ，先生产两组（每组 个）区间 上均匀随机数 ，，， 和 ，，，，由此得到 个点 ，再数出其中满足 的点数 ，那么由随机模拟方法可得 的近似值为 ． 15. 图 中实线围成的部分是长方体（图 ）的平面展开图，其中四边形 是边长为 的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，则此长方体的体积是 ． 三、解答题（共3小题；共39分） 16. 用随机投点法，求 与 轴组成的封闭图形的面积． 17. 利用随机 ... ...
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