石景山区2021—2022学年第一学期高三期末试卷 数 学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设函数，则是 A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 4．将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为 A． B． C． D． 5．记为等差数列的前项和，若，，则 A．36 B．45 C．63 D．75 6．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是 [17.5，30]，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A．56 B．60 C．120 D．140 7．若，，则 A． B． C． D． 8．在△中，若，则 A． B． C． D． 9．设是首项为的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，给出下列三个结论： ① ②△的面积与△的面积相等 ③三棱锥的体积为定值 其中，所有正确结论的个数是 A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量，若，则_____． 12．双曲线的焦点坐标为_____，渐近线方程为_____． 13．设函数则使得成立的的取值范围是_____． 14．若点关于轴的对称点为，则的一个取值为_____． 15．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线．有如下结论： ① 曲线上任意两点间距离的最大值为； ② 曲线的周长大于曲线的周长； ③ 曲线与圆有且仅有个公共点． 其中正确的序号为_____． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题13分） 已知函数，，从条件①、 条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）的最小正周期； （Ⅱ）在区间上的最小值． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 17．（本小题14分） 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面为直角三角形，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，，，判断在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为． 18．（本小题13分） 某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束．类问题回答正确得分，否则得分；类问题回答正确得分，否则得分．己知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为，能正确回答类中的每一个问题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （Ⅰ）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （Ⅱ）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 19．（本小题15分） 已知椭圆，为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆的离心 ... ...
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