3.2.3 直线的一般式方程 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 直线的一般式方程 【学习目标】 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点一　直线的一般式方程 思考1　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？21cnjy.com 答案　能． 思考2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？ 答案　一定． 思考3　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？ 答案　当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－x－，所以该方程表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；21·世纪*教育网 当B＝0时，A≠0，由Ax＋By＋C＝0，得x＝－， 所以该方程表示一条垂直于x轴的直线． 梳理　直线的一般式方程 形式 Ax＋By＋C＝0 条件 A，B不同时为0 知识点二　直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 梳理　 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 类型一　直线的一般式方程 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1. 解　(1)由直线方程的点斜式得y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由斜截式得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由两点式得＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由截距式得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. 反思与感悟　(1)当A≠0时，方 出卷网程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．21教育网 (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．21·cn·jy·com 跟踪训练1　根据条件写出下列直线的一般式方程： (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为_____； (2)经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为_____； (3)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为_____； (4)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为_____． 答案　(1)x＋2y＋4＝0　(2)y－2＝0　(3)2x－y－3＝0　(4)x＋y－1＝0 例2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝_____； (2)若直线l的斜率为1，则m＝_____. 答案　(1)－　(2)－2 解析　(1)令y＝0，则x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)． ∴m＝－. (2)由直线l化为斜截式方程 得y＝x＋， 则＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍去)． ∴m＝－2. 反思与感悟　(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程注意验根． 跟踪训练2　若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足_____． 答案　a≠－2 解析　由得a＝－2， ∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线， ∴a≠－2. 类型二　由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 例3　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 解　方法一　(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0， l2：mx＋3y－2＝0知： ①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠. ... ...