2.1.1 点、直线、平面之间的关系 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 点、直线、平面之间的关系 【学习目标】 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系. 2.掌握有关平面的三个公理. 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系． 知识点一　平面 思考　几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 答案　 没有．平行四边形． 梳理　(1)平面的概念 ①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念． ②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象． (2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍. 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来. (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. 知识点二　点、直线、平面之间的关系 思考　直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？21世纪教育网版权所有 答案　点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“ ”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “ ”或“ ”表示．2·1·c·n·j·y 梳理　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A l A在α内 A∈α A在α外 A α l在α内 l α l在α外 l α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 知识点三　平面的基本性质 思考1　直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？ 答案　前者不在，后者在． 思考2　观察图中的三脚架，你能得出什么结论？ 答案　不共线的三点可以确定一个平面． 思考3　观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？ 答案　不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC. 梳理 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α ①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据②判定点在直线上 类型一　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 例1　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系． 解　在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. 在(2)中，α∩β＝l，a α，b β，a∩l＝P，b∩l＝P. 反思与感悟　(1)用文字语言、 出卷网符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．21教育网 (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 跟踪训练1　根据下列符号 出卷网表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B α；(2)l α，m∩α＝A，A l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC. 解　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①. (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②. (3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③. 类型二　点线共面 例2　如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α. 证明　因为PQ∥a ... ...