2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 空间中直线与直线之间的位置关系 【学习目标】 1.了解空间中两条直线的位置关系. 2.理解异面直线的概念、画法. 3.理解并掌握公理4及等角定理. 4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角． 知识点一　空间两直线的位置关系 思考　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？ 答案　平行与相交． 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD. 梳理　异面直线的概念 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交． (4)空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分： ②从是否共面的角度来分： 知识点二　平行公理(公理4) 思考　在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c.该结论在空间中是否成立？ 答案　成立． 梳理　平行公理的内容 (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)符号表示： a∥c. 知识点三　等角定理 思考　观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，21世纪教育网版权所有 这两组角的大小关系如何？ 答案　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°. 梳理　空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 知识点四　异面直线所成的角 思考　在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？21·cn·jy·com 答案　相等． 梳理 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b 结论 我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°. 特殊情况 当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 类型一　异面直线的判断 例1　如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　)2·1·c·n·j·y 答案　C 解析　本题容易错选A或B或D.不能严格根 出卷网据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C. 反思与感悟　判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线． 跟踪训练1　如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？21*cnjy*com 解　还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 类型二　公理4及等角定理的应用 例2　已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点． (1)求证：四边形BB′E′E为平行四边形； (2)求证：∠BEC＝∠B′E′C′. 证明　(1)如图所示，因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 所以四边形AEE′A′是平行四边形． 所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′. 又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′， 所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′. 所以四边形BEE′B′是平行四边形． (2)由(1)知，四边形BB′E′E为平行四边形，所以BE∥B′E′. 同理可证CE∥ C′E′. 又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同， 所以∠BEC＝∠B′E′C′. 引申探究 本例2中取C′D′的中点G′，求证四边形ACG′E′为梯形． 证明　连接A ... ...