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课件网) 几何证明举例（2） 01 学习目标 05 随堂练习 06 课堂小结 03 新知探究 02 旧知回顾 04 例题精讲 1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 1.什么叫等腰三角形？ 2.根据本册第二章的学习你知道等腰三角形的哪些性质？ 3.这些性质你是怎样得到的？这些性质都是真命题吗？你能用逻辑推理的方法对它们进行证明吗？ “对折”得 等腰三角形的两个底角相等。 证明定理、命题的过程： 1.用数学语言描述定理，即写出“已知，求证”，画出图形； 2.写证明过程. 命题：等腰三角形的两个底角相等 （简称：等边对等角） 已知：如图,在△ABC中,AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 分析：常见辅助线做法 (1)作底边上的高;(2)作顶角的平分线;(3)作底边上的中线. 通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠C. 不同与课本的辅助线作法及证明方法. 已知：如图,在△ABC中,AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 证明：作底边BC上的高AD交BC于点D. 在Rt△ABD和Rt△ACD中, ∵AB=AC(已知)，AD=AD(公共边)， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)。 ∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等). ∴∠ADB=∠ADC=90°(垂线的定义) 等腰三角形的性质定理1: 等腰三角形的两个底角相等. 得 等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合(简称“三线合一”). 通过Rt△ABD≌Rt△ACD,还可以推得BD=DC，∠BAD=∠CAD.因而AD不仅是底边的高线，还是底边的中线和顶角的平分线。 结合小莹的作法，都可得结论： A C B D A C B D ∥ ∥ 图⑵ 图⑶ ∟ 1 2 ∥ A C B D 1 2 性质定理2符号语言的应用 ∟ ⑴∵AB=AC, ∴AD⊥BC, BD=CD. ∠1=∠2, ∴AD⊥BC BD=CD, ∠1=∠2. ⑶∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠1=∠2. 图⑴ ∟ ∥ 1 2 (2)∵AB=AC, 对于“等腰三角形的两个底角等”，有逆命题吗？逆命题是什么，怎样证明呢？ 逆命题： 有两个底角相等的三角形是等腰三角形. A B C D 1.作辅助线AD⊥BC. 2.根据∠ADB= ∠ADC=90°，AD=AD，可推出AB=AC. 发现与证明 已知：如图,在△ABC中, ∠B=∠C. 求证： AB=AC 证明方法依然是做辅助线将原三角形分成两个全等的三角形。 A B C D 等腰三角形的判定定理： 有两个底角相等的三角形是等腰三角形. △ABC中， AC=BC，得∠A=∠B; AB=BC，得∠A=∠C； ∴∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 等边三角形的每个内角都等于60°吗？它的逆命题又是什么？这个逆命题是真命题吗？ 交流与发现 等边三角形的性质定理： 等边三角形的每个内角都是60°. △ABC中， ∠A=∠B，得AC=BC; ∠A=∠C，得AB=BC； ∴AC=BC=AB. ∴△ABC是等边三角形. 等边三角形的每个内角都等于60°吗？它的逆命题又是什么？这个逆命题是真命题吗？ 交流与发现 三个角都相等的三角形是等边三角形。 此即等边三角形的判定定理. △ABC中， 1)若∠A=60°, AB=AC. ∵∠A=60°, ∴∠B+∠C=120°. ∵AB=AC，∴∠B=∠C=60°=∠A. ∴△ABC是等边三角形。 2)若∠B=60°，AB=AC.也可证得△ABC是等边三角形. 还有其他的方法判定等边三角形吗？ 交流与发现 等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。 求证：AD=AF. 分析：从已知出发先由已知AB=AC利用“等边对等角”推得∠B=∠C，再由等角的余角相等推得∠BDE=∠F,进而得到∠ADF=∠F,最后根据“等角对等边”推出AD=AF. 例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。 求 ... ...
