北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题（理工类） 2013.1 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 A． B． C． D． 【答案】A 【 解析】，要使复数为纯虚数，所以有，解得，选A. 2.“”是“直线与圆 相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【 解析】要使直线与圆 相交，则有圆心到直线的距离。即，所以，所以“”是“直线与圆 相交”的充分不必要条件，选A. 3.执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【 解析】第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环，此时满足条件输出，选C. 4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【 解析】由双曲线的焦点可知，线段PF1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点P在双曲线右支上。所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，选B. 5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种 【答案】D 【 解析】若选1男3女有种；若选2男2女有种；若选3男1女有种；所以共有种不同的选法。选D. 6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【 解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C. 7.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【 解析】，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，所以。即，选B. 8. 在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 A． B． C． D． 【答案】A 【 解析】过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 . 【答案】 【 解析】因为是等差数列，所以。是等比数列，所以，因为，所以，所以。 10. 如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点. 若，，则= ， （用表示）. 【答案】； 【 解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，在直角三角形中，，所以，由相交弦定理知，，即，解得 11.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 . 【答案】或 【 解析】先做出不等式对应的区域，阴影部分。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，所以有或直线与垂直，所以，综上或。 12. 在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 【答案】， 【 解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为2，所以所求直线方程为，即垂直于极轴的直线的极坐标方程为。 13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ． 【答案】 【 解析】,由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，，所以。 14. 将整数填入如图 ... ...
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