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课件网) 第1章 直角三角形 1.4 第1课时 角平分线的性质定理 1、角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 o B C A 1 2 复习导入 2、点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 P A B O PO的长度 讲授新课 如图1-26,在∠AOB的平分线C上任取点P,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗 将∠AOB沿OC对折,我发现PD与PE重合,即PD与PE相等 你能证明吗 P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 几何语言描述： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE PD⊥OA,PE⊥OB， O P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 A C B D P E 角平分线的性质定理： 如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？ O E B A D P 分析： 只要画射线OP，证明OP平分∠ AOB即可。 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？ C ∟ ∟ 探究 证明：过点O,P作射线OC. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中 ∴ OC是∠AOB的平分线， PD= PE, OP=OP. ∴ Rt△ PDO≌Rt △ PEO（HL） O E B A D P C ∟ ∟ ∴∠AOC=∠BOC 即点P在∠AOB的平分线OC上. 用几何语言表示为： P A O B C E D 1 2 由此得到角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ∵PD=PE PD ⊥OA ， PE ⊥OB ∴∠1= ∠2. 即点P∠AOB的平分线OC上. 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 A B O P D E 1 2 如图，PD⊥OA，PE⊥OB 点P在∠AOB的 平分线上 PD=PE 性质定理： 判定定理： 例题讲解 例1 如图， ∠BAD=∠BCD=90° ，∠1=∠2 （1）求证:点B在∠ADC的平分线上； （2）求证:BD是∠ABC的平分线. A D B C 思考：AC被BD垂直平分吗？ 证明：(1)在△ABC中， ∵∠1=∠2， ∴BA=BC. 又∵BA⊥AD, BC⊥CD, ∴点B在∠ADC的平分线上. ∟ ∟ (2)在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵BA=BC，BD=BD; ∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL) ∴∠ABD=∠CBD. ∴BD是∠ABC的平分线. 例2 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= °，BE= . 60 BF E B D F A C G 随堂演练 E D C B A 6 8 10 3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.(
课件网) 第1章 直角三角形 1.4 第2课时 角平分线性质定理的综合应用 复习导入 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 4.角平分线的性 ... ...
