2.1.3《一元二次方程的解》典例解析与同步训练

2.1.3《一元二次方程的解》经典例题解析与同步训练 【知识要点】 （1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax1 2+bx1+c=0（a≠0），ax2 2+bx2+c=0（a≠0）． 【典例解析】 例1．规定：2!=2×1；3!=3×2×1；4!=4×3×2×1，…，n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1，即称n!为n的阶乘． （1）计算：=　9900　； （2）当x=7是一元二次方程的一个根，求k 的值． 例题分析： 此题主要考查了数字变化的规律，也利用了一元二次方程的解，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的规律计算即可求解． （1）由于n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1分别求出100!和98!，然后即可求解； （2）首先利用（1）的规律求出8!，6!然后把x=7当然方程计算即可求出k． 解：（1）依题意得==9900； （2）把x=7 代入中， 得72+7k﹣56=0， ∴7k=7， ∴k=1． 例2．已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一个解，且a≠b，求的值． 例题分析： 本题考查了一元二次方程的定义，得到a+b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．同时注意根据分式的基本性质化简分式． 解：由x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一个解， 得：a+b=40，又a≠b， 得：． 故的值是20． 例3．先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x+1=0的根． 例题分析： 主要考查了方程解的定义和分式的运算．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．利用方程解的定义找到相等关系a2+3a=﹣1，再把所求的代数式化简后整理成a2+3a的形式，整体代入a2+3a=﹣1，即可求解． 解：原式=（3分） =（4分） = =；（5分） ∵a是方程x2+3x+1=0的根， ∴a2+3a+1=0，（6分） ∴a2+3a=﹣1，（8分） ∴原式=．（9分） 例4．解方程：=x2﹣x+1． 例题分析： 用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．方程的两个部分具备倒数关系，设y=x2﹣x，则原方程另一个分式为6×．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验． 解：设y=x2﹣x，则原方程化为6×=y+1， 整理得y2+y﹣6=0， 解得y=﹣3或y=2． 当y=﹣3时，有x2﹣x=﹣3，移项得，x2﹣x+3=0，△=﹣11＜0，故方程无实数根； 当y=，2时，有x2﹣x=2，移项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1， 经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根． ∴原方程的根是x1=2，x2=﹣1． 例5．先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x=6的根． 例题分析： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2﹣x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可． 解：原式= = = =． ∵a是方程x2﹣x=6的根， ∴a2﹣a=6， ∴原式=． 【同步训练】 一．选择题（共10小题） 1．若a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个解，则6a2﹣3a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9　 2．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．1　 3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定　 4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0 ... ...