高考试题中数列通项与前n项和问题的类型与解析 学案

高考试题中数列通项与前n项和问题 类型与解法 数列的任意一项可以用与序号n相关的式子表示，这个式子称为数列的通项公式；数列前n项和是指把数列前n项相加所得的结果，它可表示为=+++--++ 。数列通项与数列前n项和问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及数列通项与数列前n项和的问题。从题型上看，可能是选择题（或填空题），也可能是大题；难度系数为中，低档。纵观近几年的高考试题，归结起来数列通项与数列前n项和问题主要包括：①求基本数列（等差数列或等比数列）通项公式（或前n项和）的问题；②已知数列的首项和递推公式，求数列的通项公式，拆项求和问题；③已知数列通项与数列前n项和之间的关系式，求数列通项公式，裂项相消求和问题；④错项相减求和问题等几种类型。各种类型问题结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列通项与数列前n项和问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，准确，快捷予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、若等比数列{ }满足+=2，-=6，则=（ ）（2021成都市高三一诊） A -32 B -8 C 8 D 64 【解析】 【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用。 【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列{}的首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}的首项，公比的值，从而求出的值就可得出选项。 【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，+=2，-=6，q（1+q）=2①；q（1+q）（1-q）=6②，联立①②解得：=1，q=-2，=，=1 =-32，A正确，选A。 2、（理）等比数列{}的公比为q，前n项和为，设甲：q>0，乙：{}是递增数列，则（ ） A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C 甲是乙的充分必要条件 D 甲既不是乙的充分条件也表示乙的必要条件 （文）记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（ ）（2021全国高考甲卷） A 7 B 8 C 9 D 10 【解析】 【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列前n项和公式及运用；③充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质，④判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。 【解题思路】（理）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，运用充分条件，必要条件，充分必要条件的性质和判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法对甲与乙之间的关系给出正确判断就可得出选项。（文）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列{}首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}首项，公比的值，运用等比数列前n项和公式求出的值就可得出选项。 【详细解答】（理）由q>0，不能判断等比数列{}是递增数列，也不能判断数列{}是递增数列，但由数列{}是递增数列，能够判断等比数列{}是递增数列，从而推出q>0，甲是乙的必要条件但不是充分条件，B正确，选B。（文）设等比数列{}的首项为，公比为q， =（1+q）=4①，=（1+q++）=6②，联立①②解得：=8-4，q=，==7，A正确，选A。 3、设数列｛｝是等比数列，且++=1，++=2，则++=（ ）（2020全国高考新课标I文） A 12 B 24 C 30 D 32 【解析】 【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。 【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出++的值就可得出选项。 【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，++=1，++=2， （1+q+）=1①, q（1+q+）=2②,联立①②解得：=，q=2，++= （1+q+）=132=32，D正确，选D。 4、记为等比数列｛｝前n项和，若-=12，-=24，则=（ ）（2020全国高考新课标II文） A -1 B 2- C 2- D -1 【解析 ... ...