第四章 因式分解(考点讲解)（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第四章 因式分解 【学习目标】 1. 理解因式分解概念，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算； 2. 掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等四种基本方法，并能进行因式分解； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【考点总结】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.21教育网 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先 提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，直到每一项不能再分解为止。21cnjy.com 【例题讲解】 类型一、提取公因式 例1． 【答案】 【分析】 先提公因式2（m+n），再化简计算即可解答． 解：原式=2（m+n）[4(m+n)﹣（m﹣n）] =2(m+n)(4m+4n﹣m+n) =2(m+n)(3m+5n)． 【点拨】本题考查因式分解、合并同类项，熟练掌握用提公因式法分解因式的方法，找到公因式是解答的关键． 【训练】分解因式： 【答案】 【分析】原式先变形为，再利用提公因式法分解． 解：原式= = =． 【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 类型二、公式法 例2．分解因式：． 【答案】 【分析】 直接利用平方差公式分解因式得出答案． 解： ∵ ∴． 【点拨】本题考查了平方差公式、整式运算的知识；求解的关键是熟练掌握平方差公式进行分解因式，即可得到答案．21·cn·jy·com 【训练】因式分解；． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解后，再进行化简即可. 解:原式= = = 【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．2·1·c·n·j·y 例3、 【答案】 【分析】 先提公因式4，将（x+y）看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解：原式 ． 【点拨】本题考查了提公因式法和完全平方 公式法分解因式，解答的关键是掌握完全平方公式的结构特征，公式中的a、b可以表示数、字母，也可以是整式．【来源：21·世纪·教育·网】 【训练】分解因式： （1）3x－12x3； （2）4m2＋2mn＋n2． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点拨】本题考查了利用提取公因式 法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．21·世纪*教育网 类型三、十字相乘法 例4．因式分解： 【答案】 【分析】将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可． 解： =． 【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分 解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用． 【训练】 【答案】 【分析】先提公因式3mn，再利用十字相乘法分解因式即可． 解：原式 ． 【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的关键． 类型四、分组分解法 例5．因式分解：． 【答案】 【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可． 解：原式= = = =． 【点拨】本题考查了因式分解：分组 分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分 ... ...