第五章 四边形 第一节 平行四边形与多边形 命题点 1 平行四边形的性质 （2019年安徽20-10分）如图，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE， (1)求证:△BCE≌△ADF； (2)设□ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值. 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵AF∥BE， ∴∠EBA+∠BAF=180°， ∴∠CBE=∠DAF， 同理得∠BCE=∠ADF， 在△BCE和△ADF中， ∵ ∠CBE＝∠DAF，BC＝AD，∠BCE＝∠ADF， ∴△BCE≌△ADF（ASA）； ∵点E在 ABCD内部， ∴S△BEC+S△AED= S ABCD， 由（1）知：△BCE≌△ADF， ∴S△BCE=S△ADF， ∴S四边形AEDF=S△ADF+S△AED=S△BEC+S△AED= S ABCD， ∵ ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T， ∴. 2018年安徽中考真题未考查此知识点，故用安徽2018年安徽合肥市中考模拟题替代 （2018年安徽合肥市中考模拟13-5分）如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么 ABCD的周长是 ． 【解析】解：∵ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵OM⊥AC， ∴AM=MC． ∴△CDM的周长=AD+CD=8， ∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16． 故答案为:16． （2017年安徽14-5分）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图1)，剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形．则所得平行四边形的周长为_____ cm. 【解析】在Rt△ABC中，AC＝30，∠C＝30°，可得AB＝BE＝10，由对称性可知∠ABD＝∠EBD＝30°，∴在Rt△ABD中，AD＝10，∴AD＝DE＝10，CD＝20.a.如解图①所示，当沿过E点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以AD和DE为邻边的平行四边形ADEF时，∵AD＝DE＝10，∴所得平行四边形ADEF的周长为4AD＝40； b．如解图②所示，当沿过D点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以∠B为顶角，BD为对角线的平行四边形DFBG时，由折叠性质可得DG＝DF，DF∥AB，∴DF∶AB＝CD∶CA＝2∶3，AB＝10，∴DF＝，∴所得平行四边形DFBG的周长为4DF＝.故答案为: 40或 （2013年安徽13-5分）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝2，则S1＋S2＝_____． 【解析】如解图，由于E，F分别是PB，PC的中点，根据中位线性质EF∥BC，EF＝BC，易得△PEF∽△PBC，面积的比是1∶4，由S＝2，得△PBC的面积为8.又根据平行四边形的性质，把S1＋S2看作整体，设AD边上的高为h，可得S1＋S2＝(PD＋PA)·h＝AD·h＝BC·h＝S△PBC＝8. 命题点 2 平行四边形的判定 （2017年安徽20-10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE. (1)求证：四边形AECD为平行四边形； (2)连接CO，求证：CO平分∠BCE. 【解析】(1)证明：∵∠B＝∠D，∠B＝∠E，∴∠D＝∠E. ∵CE∥AD，∴∠E＋∠DAE＝180°，∴∠D＋∠DAE＝180°，∴AE∥DC. ∴四边形AECD为平行四边形； (2)证明：(方法一)如解图①，过点O作OM⊥EC，ON⊥BC，垂足分别为M、N. ∵四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC， 又∵AD＝BC，∴EC＝BC，∴OM＝ON，∴CO平分∠BCE. 图① (方法二)如解图②，连接OB、OE，在△COE和△COB中，， ∴△COE≌△COB(SSS)， ∴∠ECO＝∠BCO， ∴CO平分∠BCE. 图② 命题点 3 正多边形的计算与证明 （2014年安徽23-14分）如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N. (1)①∠MPN＝_____°； ②求证：PM＋PN＝3a； 图① (2)如图②，点O是AD的中 ... ...
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