第11讲 整除 图形推理 整除的性质。 性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 2.2、3、5倍数的特征。 能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除； 能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除； 能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。 能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 因数与倍数。 如果一个数能被另一个数整除，那么这个数是另一个数的倍数，另一个数是这个数的因数。1只有1个因数。 两个或多个数公有的倍数中，最小的一个叫作最小公倍数；两个或多个数公有的因数中，最大的一个叫作最大公因数。两个数除了1以外没有其他的公因数，那么这两个数互质（互为质数）。 质数和合数。 如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数（素数）。2是最小的质数。 如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。1既不是质数也不是合数。 奇数和偶数。 如果一个数能够被2整除，那么这个数叫作偶数；如果不能被2整除，那么这个数叫作奇数。 第一，整除的意义；第二，奇数、偶数、质数（素数）、合数的理解；第三，倍数和因数的认识，以及2、3、5倍数的特征； 兔妈妈和小白兔、小黑兔、小灰兔去地里拔萝卜，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，小灰兔拔了5根，兔妈妈拔的萝卜分别是小白兔的、小黑兔、小灰兔的倍数，兔妈妈至少拔了多少根？ 【解析】这是一个典型的求最小公倍数的问题，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，小灰兔拔了5根，兔妈妈拔的萝卜分别是它们的倍数，求兔妈妈至少拔了多少根，就是求2、3、5的最小公倍数。此题有两种解法，一是分别列举2、3、5的倍数，找出它们的最小公倍数；二是显然2、3、5除了1以外，没有其他的公因数，因此可以直接相乘求出它们的最小公倍数。 【答案】兔妈妈至少拔了30根。 例1.在3、5、8、14、24、27、30、43、51、62、68、70中，能够被2整除的有_____， 能够被3整除的有_____，能够被5整除的有_____。 考点：2、3、5的倍数特征 分析：此题在于考察对整除定义的理解，只需要用2、3、5分别去除这些数，看它们的商是否有余数，如果哪个数被除后，得到的商没有余数，则这个数能被相应的数整除。 解答：能够被2整除的数：8、14、30、62、68、70；能够被3整除的数：3、24、27、30、51；能够被5整除的数：30、70。 点评：熟练掌握2、3、5的倍数特征 例2.50以内，2和3的公倍数有 ，2和5的公倍数有 ，3和5的公倍数有 ，2、3、5的公倍数有 。 考点：2、3、5的倍数特征和综合倍数的特征 分析：此题考查的是公倍数，2和3的公倍数就是既是2的倍数，又是3的倍数，2和3的最小公倍数是6，因此只要是6的倍数就是2和3的公倍数；同理可求出2和5、3和5、2和3和5的公倍数。 解答：2和3的公倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48；2和5的公倍数有10、20、30、40、50；3和5的公倍数有15、30、45；2、3、5的公倍数有：30。 点评：掌握2、3、5的倍数特征 例3.30以内的奇数有 ； 30以内的偶数有 ； 30以内的质数 ... ...
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