[中考十二年]2001-2012年江苏12市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编（17专题）专题10：三角形四边形存在性问题

2001-2012年江苏12市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题10：三角形四边形存在性问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题 二、填空题 三、解答题 1. （2002年江苏连云港10分）已知：抛物线与x轴交于A（k,0）（k＜0）、B(3,0)两点，与y轴正半轴交于C点且tan∠CAO=3。 （1）求此抛物线的解析式（系数中可含字母k）； （2）设点D（0，t）在x轴下方，点E在抛物线上，若四边形ADEC为平行四边形，试求t与k的函数关系式； （3）题（2）中的平行四边形ADEC能否为矩形？若能，求出D点坐标；若不能，请说明理由。 【答案】解：（1）∵tan∠CAO=3，A（k，0）（k＜0），又C点在y轴正半轴上，∴C（0，－3k）。 ∵A（k，o），B（3，0），C（0，－3k）都在抛物线上， ∴，∴解得：。 ∴抛物线为：。 （2）∵DE∥AC，tan∠CAO=3，∴直线DE的斜率为：3。 又∵过点D（0，t），∴直线DE为：y=3x+t。 ∴联解可得交点为。 又∵要使ADEC为平行四边形，∴DE=AC。 ∴。 ∵k＜0，∴（k＜0）。 （3）∵要使平行四边形ADEC为矩形，∴∠ADE=90°。 ∴kAC?kAD=－1，即：。∴k=3t。 又∵，∴由，得或t=0（舍）。 ∴D点的坐标为。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、矩形的判定，勾股定理，解方程组。 【分析】（1）根据A的坐标，可得出OA的长，根据∠CAO的正切值可求出OC的长，也就能求出C点的坐标．然后根据A、B、C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式。 （2）要想使四边形ADEC为平行四边形，AC与DE必须平行且相等．根据∠CAO的正切值可得出直线AC的斜率．也就得出了直线DE的斜率，联立直线DE和抛物线的解析式求出E点的坐标．由于AC=DE，可用E点的坐标求出DE的长，进而得出t，k的函数关系式。 （3）由于四边形ADEC为矩形，那么AD⊥AC，即直线AC与直线AD的斜率的积为－1．由此可得出t与k的函数关系式．联立（2）的关系式即可得出关于t，k的方程．可求出此时t，k的值。 2. （2003年江苏淮安12分）如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）． （1）直接写出B点坐标； （2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1：3两部分，求直线CD的解析式； （3）在（2）的条件下，试问在坐标轴上是否存在点E，使以C、D、E为顶点的三角形与以B、C、D为顶点的三角形相似？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）（3，5）。 （2）设点D的坐标为（3，d），则 OA=CB=3，OC=5，AD= d，BD=5－d，， ∴CD把矩形OABC的周长分为的两部分为 5＋3＋d，。 由得（舍去）；由得。 ∴D（3，4）。 ∵C（0，5），∴可设直线CD的解析式为。 将D（3，4）代入得，，。 ∴直线CD的解析式为。 （3）存在。分三种情况讨论： 若∠CED=900，则过点D作DE1⊥OC于点E1， 易知△CE1D≌△DBC。是相似的特殊情形， 此时E1（0，4）。 若∠ECD=900，则过点C作CE2⊥CD交x轴于点E2， 易得CE2为，令得。 此时，E2，。 ∵，，。 ∴。∴△CE2D与△BCD不相似，即∠ECD=900时不存在点E。 若∠EDC=900，则过点D作DE3⊥CD交x轴于点E3，交y轴于点E4， 设DE3为，将D（3，4）代入得，。 ∴ DE3为。 此时，E3（），E4（0，－5）， ∵，∴同上可知， E3不适合。 ∵ ，，， ∴。∴△DE4C∽△BCD。 综上所述，在坐标轴上存在点E，使以C、D、E为顶点的三角形与以B、C、D为顶点的三角形相似，点E的坐标为（0，4）或（0，－5）。 【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定，分类思想的应用。 【分析】（1）由A、C两点的坐标直接写出B点坐标。 （2）设点D的坐标为（3，d），根据直线CD把矩形OABC的周长分为1：3两部分列 ... ...