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课件网) 13.5 第3课时 角平分线 第13章 全等三角形 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 情景导入 这要用到角平分线的知识.怎么用呢？ 生活中的数学 角平分线的性质 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 即角平分线上的点到角两边的距离相.． 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 获取新知 你能给出PA=PB的证明吗？ 已知: 如图, OC是 ∠AOB的平分线,点P是 OC上的任意一点，PD丄OA, PE丄OB, 垂足分别为点 D和点E. 求证：PD=PE. 分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要 证明 这两个三角形全等，便可证得PD=PE. D P A C B E O 你能写出完整的证明过程？ 下面我们来证明刚才得到的结论： 证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中， ∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）. D P A C B E O 角平分线上的点到角两边的距离相等． 书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE. 易错警示：垂线段的长度≠随意两点间的距离 D P A C B E O 关键词：(1)点一定要在角平分线上； (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度； 作用：角平分线的性质可用来证明两条线段相等． 是三角形全等思路的简化升级版 角平分线的性质定理： 角平分线性质定理的逆定理 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 角平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？ 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 分析：只需证明∠AOP和∠BOP所在的Rt△PDO和Rt△PEO全等. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. B A D O P E 证明：过点O、P作射线OP. ∵ PD⊥OA, PE⊥OB ， ∴ ∠PDO= ∠PEO = 90°. 在 Rt △PDO和 Rt △PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO, (H. L.), ∴ ∠DOP= ∠EOP(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. B A D O P E 条件：点到角两边距离相等； 结论：点在角平分线上． (1)书写格式：如图， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． (2)作用：可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线． 角平分线的判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ 点拨：只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可.思路可表示如下： AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PD=PF PD=PE PF=PE 点P在∠BCA的平分线上 A B C P D F 你会给出证明过程吗？试试吧 你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？ E 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC, 垂足分别为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）, ∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PE=PF. ∴ PD=PF（等量代换）. ∴ 点P在∠A的平分线上, A B C P E D F M N 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P也在∠A的平分线上. 例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB ... ...
