圆的对称性（2）

附表1 屏山县大乘初级中学校 教师集体备课教案 科目 数学 年级 九年级 主备人 杨道之 课 题 圆的对称性 上课人 知识与技能目标 理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明； 过程与方法目标 进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 情感态度与价值观目标 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱． 教学重点 ①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力． 教学难点 垂径定理的证明． 问题探讨 要点记忆 垂径定理及应用 教具、学具准备 圆规，常规教具 教 学 过 程 教 师 活 动 学生活动 （一）实验活动，提出问题：1、实验：　　2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.　　通过“演示实验———观察———感性———理性”引出垂径定理．　　（二）垂径定理及证明：　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．　　求证：AE=EB， = ， = ．　　证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合．因此，AE=BE， = ， = ．从而得到圆的一条重要性质．　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.　　（三）应用和训练　　例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．　　解：连结OA，作OE⊥AB于E．　　则AE=EB．　　∵AB=8cm，∴AE=4cm．　　又∵OE=3cm，　　在Rt△AOE中，　　 (cm)．　　∴⊙O的半径为5 cm．　　　　例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）　　说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．　　　指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线———弦心距.　　（四）小结与反思　　（五）作业 用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.思考垂径定理的证明和老师一起归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．剖析垂径定理的条件和结论：　　 CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， = ， = .分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．学生归纳应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h学生独立完成 板书设计 圆的对称性垂径定理及证明：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧3、应用和训练 迁移拓展训练 如下图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F． (1)当时，求证：AE＝EB；(2)当点P在什么位置时，AF＝EF．证明你的结论． 本课最大特色 对于垂径定理及证明的引入和证明采用发现法，由学生自己观察、猜想、测量、论证，实际掌握效果比应用讲授法应好些， 教学反思 ... ...