3.2　空间向量运算的坐标表示及应用同步学案

3．2　空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时　空间向量运算的坐标表示　空间向量平行(共线)和垂直的条件 [教材要点] 要点　空间向量运算的坐标表示 1．标准正交基：在空间直角坐标系O xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基_____，这组基叫作标准正交基． 2．坐标向量：对于任意一个向量p＝xi＋yj＋zk，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝_____，单位向量i，j，k都叫作坐标向量． 3．坐标运算：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， 则(1)a＋b＝_____ (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) (3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R) (4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则＝＝.(　　) (2)若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).(　　) (3)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．(　　) (4)空间向量的加法、减法、乘法坐标运算的结果依然是一个向量．(　　) 2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　) A．(16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) 3．已知空间向量a＝(2，2，－3)，b＝(0，6，m)，若a⊥b，则m＝(　　) A． B．1 C．2 D．4 4．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝_____． 题型一　向量运算的坐标表示 例1　已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，3a＋2b，a·b. 方法归纳 1．在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b2|，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等； 2．进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以先求出2a，－b后，再求数量积，计算(a＋b)·(a－b)，即可以先求出a＋b，a－b后，再求数量积也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． 跟踪训练1　已知在空间直角坐标系中A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5). (1)求＋，－2，·； (2)若点M满足＝＋，求点M的坐标． 题型二　空间向量平行、垂直的坐标表示 例2　设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值． (1)a∥b；(2)a⊥b. 方法归纳 要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论． 跟踪训练2　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [课堂十分钟] 1．已知a＝(1，0，－1)，b＝(1，－2，2)，c＝(－2，3，－1)那么向量a－b＋2c＝(　　) A．(0，1，2) B．(4，－5，5) C．(－4，8，－5) D．(2，－5，4) 2．已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b(　　) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 3．已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1).若向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是(　　) A．6 B．－6 C．4 D．－4 4．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值是_____． 5．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，求顶点D的坐标． 第1课时　空间向量运算的坐标表示　 空间向量平行(共线)和垂直的条件 新知初探·课前预习 要点 1．{i，j，k} 2．(x，y，z) 3．(1)(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) [基础自测] 1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2 ... ...